Bài 13 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Cánh diều, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về hàm số và đồ thị để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm về tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu và cực trị của hàm số.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 13 trang 41, giúp các em học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán và rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề.
Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày (left( {0 le t < 24} right)) cho bởi công thức (h = 3cos left( {frac{{pi t}}{6} + 1} right) + 12). Tìm t để độ sâu của mực nước là
Đề bài
Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày \(\left( {0 \le t < 24} \right)\) cho bởi công thức \(h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12\). Tìm t để độ sâu của mực nước là
a) 15m
b) 9m
c) 10,5m
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình hàm số cos
Lời giải chi tiết
a) Để độ sâu của mực nước là 15 m thì: \[ h = 3\cos\left(\frac{\pi}{6} + 1\right) + 12 = 15 \] \[ \Leftrightarrow \cos\left(\frac{\pi}{6} + 1\right) = 1 \] \[ \Leftrightarrow \frac{\pi}{6} + 1 = k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] \[ \Leftrightarrow t = -\frac{6}{\pi} + 12k \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Do \(0 \leq t < 24\) nên \(0 \leq -\frac{6}{\pi} + 12k < 24\) \[ \Leftrightarrow \frac{6}{\pi} \leq 12k < 24 + \frac{6}{\pi} \] \[ \Leftrightarrow \frac{1}{2\pi} \leq k < 2 + \frac{1}{2\pi} \] Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \{1; 2\}\).
Với \(k = 1\) thì \(t = -\frac{6}{\pi} + 12.1 \approx 10,09\) (giờ);
Với \(k = 2\) thì \(t = -\frac{6}{\pi} + 12.2 \approx 22,09\) (giờ).
Vậy lúc 10,09 giờ và 22,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 15 m.
b) Để độ sâu của mực nước là 9 m thì:
\[h = 3\cos\left(\frac{\pi}{6} + 1\right) + 12 = 9\]
\[\Leftrightarrow \cos\left(\frac{\pi}{6} + 1\right) = -1\]
\[\Leftrightarrow \frac{\pi}{6} + 1 = \pi + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\]
\[\Leftrightarrow t = 6 - \frac{6}{\pi} + 12k \quad (k \in \mathbb{Z})\]
Do \(0 \leq t < 24\) nên \(0 \leq 6 - \frac{6}{\pi} + 12k < 24\)
\[\Leftrightarrow -6 + \frac{6}{\pi} \leq 12k < 18 + \frac{6}{\pi}\]
\[\Leftrightarrow -\frac{1}{2} + \frac{1}{2\pi} \leq k < \frac{3}{2} + \frac{1}{2\pi}\]
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \{0; 1\}\).
Với \(k = 0\) thì \(t = 6 - \frac{6}{\pi} + 12.0 \approx 4,09\) (giờ);
Với \(k = 1\) thì \(t = 6 - \frac{6}{\pi} + 12.1 \approx 16,09\) (giờ).
Vậy lúc 4,09 giờ và 16,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 9 m.
c) Để độ sâu của mực nước là $10,5 \mathrm{~m}$ thì:$$\begin{aligned}& h=3 \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)+12=10,5 \\& \Leftrightarrow \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=-\frac{1}{2} \\& \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\frac{\pi \mathrm{t}}{6}+1=\frac{2 \pi}{3}+\mathrm{k} 2 \pi \\\frac{\pi \mathrm{t}}{6}+1=-\frac{2 \pi}{3}+\mathrm{k} 2 \pi\end{array} \quad(\mathrm{k} \in \mathbb{Z})\right. \\& \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=4-\frac{6}{\pi}+12 k \\t=-4-\frac{6}{\pi}+12 k(2)\end{array}(\mathrm{k} \in \mathbb{Z})\right. \\&\end{aligned}$$
- Do $0 \leq \mathrm{t}<24$ nên từ (1) ta có: $0 \leq 4-\frac{6}{\pi}+12 k<24$$$\begin{aligned}& \Leftrightarrow-4+\frac{6}{\pi} \leq 12 k<20+\frac{6}{\pi} \\& \Leftrightarrow-\frac{1}{3}+\frac{1}{2 \pi} \leq k<\frac{5}{3}+\frac{1}{2 \pi}\end{aligned}$$
Mà $k \in Z$ nên $k \in\{0 ; 1\}$.Với k $=0$ thì $t=4-\frac{6}{\pi}+12.0 \approx 2,09$ (giờ);Với k $=1$ thì $t=4-\frac{6}{\pi}+12.1 \approx 14,09$ (giờ).- Do $0 \leq \mathrm{t}<24$ nên từ (2) ta có: $0 \leq-4-\frac{6}{\pi}+12 k<24$$$\begin{aligned}& \Leftrightarrow 4+\frac{6}{\pi} \leq 12 k<28+\frac{6}{\pi} \\& \Leftrightarrow \frac{1}{3}+\frac{1}{2 \pi} \leq k<\frac{7}{3}+\frac{1}{2 \pi}\end{aligned}$$
Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in\{1 ; 2\}$.Với k $=1$ thì $t=-4-\frac{6}{\pi}+12.1 \approx 6,09$ (giờ);Với k $=2$ thì $t=-4-\frac{6}{\pi}+12.2 \approx 18,09$ (giờ).Vậy lúc 2,09 giờ, 6,09 giờ, 14,09 giờ và 18,09 giờ thì mực nước có độ sâu là $10,5 \mathrm{~m}$.
Bài 13 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số bậc hai và ứng dụng của nó trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:
Bài 13 yêu cầu học sinh xét hàm số f(x) = x2 - 4x + 3 và thực hiện các yêu cầu sau:
1. Tập xác định:
Hàm số f(x) = x2 - 4x + 3 là một hàm số bậc hai, do đó tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các số thực, tức là D = ℝ.
2. Tọa độ đỉnh của parabol:
Tọa độ đỉnh của parabol có dạng (x0; y0), trong đó x0 = -b / 2a và y0 = f(x0). Trong trường hợp này, a = 1, b = -4, c = 3. Do đó:
Vậy tọa độ đỉnh của parabol là (2; -1).
3. Trục đối xứng của parabol:
Trục đối xứng của parabol là đường thẳng x = x0, tức là x = 2.
4. Vẽ đồ thị của hàm số:
Để vẽ đồ thị của hàm số, ta cần xác định một số điểm thuộc đồ thị. Ngoài đỉnh (2; -1), ta có thể xác định thêm một vài điểm khác, ví dụ:
Vẽ parabol đi qua các điểm này, với đỉnh là (2; -1) và trục đối xứng là x = 2.
5. Khoảng đồng biến, nghịch biến:
Vì a = 1 > 0, parabol có dạng mở lên trên. Do đó:
6. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất:
Vì parabol mở lên trên, hàm số không có giá trị lớn nhất. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y0 = -1, đạt được khi x = 2.
Thông qua việc giải Bài 13 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều, học sinh đã nắm vững các kiến thức về hàm số bậc hai, bao gồm tập xác định, tọa độ đỉnh, trục đối xứng, khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Việc hiểu rõ các khái niệm này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học Toán 11.
Hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về Bài 13 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều và tự tin hơn trong việc giải các bài tập tương tự.
