Bài học này cung cấp kiến thức nền tảng về hai đường thẳng vuông góc trong chương trình Toán 11 Cánh diều. Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu định nghĩa, điều kiện, tính chất và các ứng dụng quan trọng của hai đường thẳng vuông góc.
Nội dung được trình bày một cách dễ hiểu, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập thực hành để giúp bạn nắm vững lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải toán.
1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b, kí hiệu (a, b) hoặc \(\widehat {(a,b)}\).
1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b, kí hiệu (a, b) hoặc \(\widehat {(a,b)}\).
Nhận xét:
- Góc giữa hai đường thẳng a, b không phụ thuộc vào vị trí điểm O. Thông thường, khi tìm góc giữa hai đường thẳng a, b, ta chọn O thuộc a hoặc O thuộc b.
- Góc giữa hai đường thẳng a, b bằng góc giữa hai đường thẳng b, a, tức là (a, b) = (b, a).
- Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá \({90^0}\).
- Nếu a // b thì (a, c) = (b, c) với mọi đường thẳng c trong không gian.
2. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \({90^0}\).
Khi hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, ta kí hiệu \(a \bot b\).
Nhận xét: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại.
Trong chương trình Toán 11, chủ đề về đường thẳng và mặt phẳng đóng vai trò quan trọng, và một phần không thể thiếu là lý thuyết về hai đường thẳng vuông góc. Bài viết này sẽ cung cấp một cách đầy đủ và chi tiết về lý thuyết này, dựa trên chương trình Cánh diều.
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc khi chúng cắt nhau và góc giữa chúng bằng 90 độ. Ký hiệu: d1 ⊥ d2.
Có nhiều cách để xác định hai đường thẳng vuông góc:
Một số tính chất quan trọng của hai đường thẳng vuông góc:
Lý thuyết về hai đường thẳng vuông góc có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các bài toán hình học:
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d1: x + 2y - 3 = 0 và d2: 2x - y + 1 = 0. Chứng minh rằng hai đường thẳng này vuông góc với nhau.
Giải:
Hệ số góc của d1 là k1 = -1/2. Hệ số góc của d2 là k2 = 2. Ta có k1.k2 = (-1/2).2 = -1. Vậy hai đường thẳng d1 và d2 vuông góc với nhau.
Ví dụ 2: Cho điểm A(1; 2) và đường thẳng d: 3x - 4y + 5 = 0. Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng d sao cho AB vuông góc với d.
Giải:
Gọi B(x0; y0) là điểm cần tìm. Vì B thuộc d nên 3x0 - 4y0 + 5 = 0. Vectơ AB có tọa độ (x0 - 1; y0 - 2). Vectơ chỉ phương của d có tọa độ (4; 3). Để AB vuông góc với d thì tích vô hướng của hai vectơ này bằng 0:
4(x0 - 1) + 3(y0 - 2) = 0 <=> 4x0 + 3y0 - 10 = 0
Giải hệ phương trình:
3x0 - 4y0 + 5 = 0
4x0 + 3y0 - 10 = 0
Ta được nghiệm x0 = 2, y0 = 5/4. Vậy B(2; 5/4).
Lý thuyết về hai đường thẳng vuông góc là một phần quan trọng của chương trình Toán 11. Việc nắm vững lý thuyết và các ứng dụng của nó sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và chính xác. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về chủ đề này.
