Bài 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện - Giải Toán 11 Tập 2 - Cánh Diều

Bài 3 trong chương VIII của sách Toán 11 tập 2 - Cánh diều tập trung vào việc nghiên cứu mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, đặc biệt là góc giữa chúng và khái niệm góc nhị diện. Đây là những kiến thức cơ bản và quan trọng để hiểu sâu hơn về hình học không gian.

I. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm bất kỳ trên d lên mặt phẳng (P). Gọi điểm này là A'.
2. Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa d và đường thẳng A'D, trong đó D là chân đường vuông góc hạ từ A' xuống d.
3. Ký hiệu: góc giữa d và (P) là φ, với 0° ≤ φ ≤ 90°.

II. Góc nhị diện

Góc nhị diện là góc tạo bởi hai nửa mặt phẳng có chung một đường thẳng. Để xác định góc nhị diện, ta thực hiện:

1. Chọn một điểm O không nằm trên đường thẳng chung.
2. Trong mỗi nửa mặt phẳng, vẽ một đường thẳng đi qua O và vuông góc với đường thẳng chung.
3. Góc giữa hai đường thẳng này là góc nhị diện.
4. Ký hiệu: góc nhị diện là α, với 0° ≤ α ≤ 180°.

III. Các định lý và tính chất quan trọng

• Đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
• Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó song song với mặt phẳng đó.
• Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi có một đường thẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng.

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).

Giải: Vì SA vuông góc với đáy ABCD nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD). Do đó, góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) là 90°.

Ví dụ 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Trên (P) có điểm A, trên (Q) có điểm B. Tính góc nhị diện giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Giải: Vì (P) và (Q) vuông góc với nhau, góc nhị diện giữa chúng là 90°.

V. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc nhị diện, các em cần thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Hãy tham khảo các bài tập trong SGK Toán 11 tập 2 - Cánh diều và các tài liệu luyện tập khác. Đừng ngần ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè nếu gặp khó khăn.

VI. Ứng dụng của kiến thức

Kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc nhị diện có ứng dụng rộng rãi trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực như kiến trúc, xây dựng, kỹ thuật. Ví dụ, khi thiết kế một ngôi nhà, kiến trúc sư cần tính toán các góc độ để đảm bảo tính thẩm mỹ và độ bền vững của công trình.

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về Bài 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện - SGK Toán 11 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!