Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 tập 2 của giaibaitoan.com. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 2 trang 91, 92, 93 sách giáo khoa Toán 11 tập 2 - Cánh Diều.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Cho góc nhị diện có hai mặt là hai nửa mặt phẳng (left( P right),left( Q right)) và cạnh của góc nhị diện là đường thẳng (d).
Quan sát hình ảnh một quyển sổ được mở ra (Hình 35), mỗi trang sổ gợi nên hình ảnh của một nửa mặt phẳng. Nêu đặc điểm của hai nửa mặt phẳng đó.
Phương pháp giải:
Dựa vào khái niệm góc nhị diện.
Lời giải chi tiết:
Hai nửa mặt phẳng đó có chung bờ là đường thẳng chứa gáy sổ.
Cho góc nhị diện có hai mặt là hai nửa mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) và cạnh của góc nhị diện là đường thẳng \(d\).
Qua một điểm \(O\) trên đường thẳng \(d\), ta kẻ hai tia \(Ox,Oy\) lần lượt thuộc hai nửa mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) và cùng vuông góc với đường thẳng \(d\). Góc \(xOy\) gọi là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện đã cho (Hình 38).
Giả sử góc \(x'Oy'\) cũng là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện đã cho với \(O'\) khác \(O\) (Hình 39).
Hãy so sánh số đo của hai góc \(xOy\) và \(x'Oy'\).
Phương pháp giải:
Sử dụng quan hệ giữa hai đường thẳng song song.
Lời giải chi tiết:
Trong \(\left( P \right)\) ta có:
\(\left. \begin{array}{l}Ox \bot d\\O'x' \bot d\end{array} \right\} \Rightarrow Ox\parallel O'x'\)
Trong \(\left( Q \right)\) ta có:
\(\left. \begin{array}{l}Oy \bot d\\O'y' \bot d\end{array} \right\} \Rightarrow Oy\parallel O'y'\)
Vậy \(\left( {Ox,Oy} \right) = \left( {O'x',O'y'} \right)\) hay số đo của hai góc \(xOy\) và \(x'Oy'\) bằng nhau.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Tính số đo theo đơn vị độ của góc nhị diện:
a) \(\left[ {B,SA,D} \right]\);
b) \(\left[ {B,SA,C} \right]\).
Phương pháp giải:
‒ Cách xác định góc nhị diện \(\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right]\)
Bước 1: Xác định \(c = \left( {{P_1}} \right) \cap \left( {{Q_1}} \right)\).
Bước 2: Tìm mặt phẳng \(\left( R \right) \supset c\).
Bước 3: Tìm \(p = \left( R \right) \cap \left( {{P_1}} \right),q = \left( R \right) \cap \left( {{Q_1}} \right),O = p \cap q,M \in p,N \in q\).
Khi đó \(\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right] = \widehat {MON}\).
Lời giải chi tiết:
a) \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB,SA \bot A{\rm{D}}\)
Vậy \(\widehat {BA{\rm{D}}}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {B,SA,D} \right]\)
\(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow \widehat {BA{\rm{D}}} = {90^ \circ }\)
Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[ {B,SA,D} \right]\) bằng \({90^ \circ }\).
b) \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB,SA \bot A{\rm{C}}\)
Vậy \(\widehat {BA{\rm{C}}}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\)
\(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow \widehat {BA{\rm{C}}} = {45^ \circ }\)
Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\) bằng \({45^ \circ }\).
Trong không gian cho hai mặt phẳng \((\alpha), (\beta)\) cắt nhau theo giao tuyến d. Hai mặt phẳng \((\alpha), (\beta)\) tạo nên bao nhiêu góc nhị diện có cạnh của góc nhị diện là đường thẳng d?
Phương pháp giải:
Dựa vào kiến thức về góc nhị diện.
Lời giải chi tiết:
Số góc nhị diện mà hai mặt phẳng (a) và (B) tạo ra bằng số điểm trên đường thẳng d.
Mục 2 của chương trình Toán 11 tập 2 - Cánh Diều tập trung vào các kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Các bài tập trang 91, 92, 93 thường xoay quanh việc xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, tìm giao điểm, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, và ứng dụng các kiến thức này vào giải quyết các bài toán thực tế.
Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để xác định mối quan hệ giữa chúng. Các trường hợp có thể xảy ra bao gồm:
Để giải quyết bài tập này, học sinh cần nắm vững các điều kiện sau:
Để tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, học sinh cần giải hệ phương trình bao gồm phương trình tham số của đường thẳng và phương trình của mặt phẳng. Giao điểm là nghiệm của hệ phương trình này.
Ví dụ, cho đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng (P): x + y + z - 6 = 0. Thay các phương trình tham số của đường thẳng vào phương trình mặt phẳng, ta được:
(1 + t) + (2 - t) + (3 + 2t) - 6 = 0
Giải phương trình này, ta tìm được t = 0. Thay t = 0 vào phương trình tham số của đường thẳng, ta được giao điểm I(1, 2, 3).
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng. Để tính góc này, học sinh cần sử dụng công thức:
sin(θ) = |cos(α)|, trong đó θ là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, α là góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Ví dụ, cho đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng (P): x + y + z - 6 = 0. Vectơ chỉ phương của đường thẳng là a = (1, -1, 2) và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là n = (1, 1, 1). Ta có:
cos(α) = (a.n) / (|a||n|) = (1 - 1 + 2) / (√(1 + 1 + 4) * √3) = 2 / (√6 * √3) = 2 / √18 = 1 / 3
Vậy sin(θ) = |1/3| = 1/3. Suy ra θ = arcsin(1/3) ≈ 19.47°.
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trong bài viết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập mục 2 trang 91, 92, 93 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều. Chúc các em học tập tốt!
