Bài 2. Giới hạn của hàm số

Bài 2 trong chương 3 của sách Toán 11 tập 1, Cánh diều, tập trung vào việc xây dựng khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm và giới hạn vô cực. Đây là một bước quan trọng trong việc chuyển từ đại số sang giải tích, mở ra cánh cửa cho việc nghiên cứu các khái niệm phức tạp hơn như đạo hàm và tích phân.

1. Giới hạn của hàm số tại một điểm

Để hiểu rõ về giới hạn của hàm số tại một điểm, ta cần nắm vững định nghĩa sau:

Định nghĩa: Hàm số f(x) có giới hạn là L khi x tiến tới x₀, ký hiệu là lim_x→x₀ f(x) = L, nếu với mọi số dương ε (epsilon) nhỏ tùy ý, tồn tại một số dương δ (delta) sao cho nếu 0 < |x - x₀| < δ thì |f(x) - L| < ε.

Định nghĩa này có thể được hiểu một cách trực quan như sau: Khi x tiến gần đến x₀, giá trị của f(x) tiến gần đến L. Lưu ý rằng, giới hạn của hàm số tại một điểm không nhất thiết phải bằng giá trị của hàm số tại điểm đó.

2. Giới hạn vô cực

Ngoài giới hạn hữu hạn, hàm số còn có thể có giới hạn vô cực. Có hai trường hợp chính:

Giới hạn dương vô cực: lim_x→x₀ f(x) = +∞ nếu với mọi số dương M, tồn tại một số dương δ sao cho nếu 0 < |x - x₀| < δ thì f(x) > M.
Giới hạn âm vô cực: lim_x→x₀ f(x) = -∞ nếu với mọi số âm M, tồn tại một số dương δ sao cho nếu 0 < |x - x₀| < δ thì f(x) < M.

3. Các tính chất của giới hạn

Việc nắm vững các tính chất của giới hạn sẽ giúp chúng ta tính toán giới hạn một cách dễ dàng hơn. Một số tính chất quan trọng bao gồm:

lim_x→x₀ [f(x) + g(x)] = lim_x→x₀ f(x) + lim_x→x₀ g(x)

lim_x→x₀ [f(x) - g(x)] = lim_x→x₀ f(x) - lim_x→x₀ g(x)

lim_x→x₀ [f(x) * g(x)] = lim_x→x₀ f(x) * lim_x→x₀ g(x)

lim_x→x₀ [f(x) / g(x)] = lim_x→x₀ f(x) / lim_x→x₀ g(x) (với lim_x→x₀ g(x) ≠ 0)

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_x→2 (x² + 3x - 1)

Áp dụng các tính chất của giới hạn, ta có:

lim_x→2 (x² + 3x - 1) = lim_x→2 x² + lim_x→2 3x - lim_x→2 1 = 2² + 3*2 - 1 = 4 + 6 - 1 = 9

Ví dụ 2: Tính lim_x→0 (1/x)

Khi x tiến tới 0, 1/x tiến tới vô cực. Do đó, giới hạn này không tồn tại.

5. Bài tập áp dụng

Tính lim_x→3 (2x² - 5x + 1)
Tính lim_x→-1 (x³ + 2x² - x - 2)
Tính lim_x→0 (sin(x)/x)

Bài 2. Giới hạn của hàm số là nền tảng cho việc học các khái niệm nâng cao hơn trong giải tích. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và các phương pháp tính giới hạn là rất quan trọng để thành công trong môn Toán.