Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Giới hạn của hàm số, một trong những chủ đề quan trọng nhất của chương trình Toán 11 Cánh Diều. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức cơ bản và nâng cao về giới hạn, giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những bài giảng chất lượng, dễ hiểu và được trình bày một cách logic, giúp bạn tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và hiệu quả.
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1. Định nghĩa
Cho khoảng K chứa điểm \({x_0}\)và hàm số \(f(x)\) xác định trên K hoặc trên \(K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\). Hàm số \(f(x)\)có giới hạn là số L khi \(x\) dần tới \({x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì, \({x_n} \in K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \({x_n} \to {x_0}\), ta có\(f({x_n}) \to L\)
Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\), khi \({x_n} \to {x_0}\).
2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số
a, Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = M\)\(\left( {L,M \in \mathbb{R}} \right)\)thì
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) \pm g(x)} \right] = L \pm M\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x).g(x)} \right] = L.M\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right] = \frac{L}{M}\left( {M \ne 0} \right)\)
b, Nếu \(f(x) \ge 0\) với mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) thì \(L \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f(x)} = \sqrt L \).
3. Giới hạn một phía
- Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\). Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì thỏa mãn \(a < {x_n} < {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0}\) ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = L\).
- Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {{x_0};b} \right)\). Số L là giới hạn bên của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì thỏa mãn \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\) ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L\).
*Nhận xét: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L\)
II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
- Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {a; + \infty } \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\) có giới hạn là số L khi \(x \to + \infty \) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì \({x_n} > a\) và \({x_n} \to + \infty \)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to + \infty \).
- Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( { - \infty ;b} \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\) có giới hạn là số L khi \(x \to - \infty \) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì \({x_n} < b\) và \({x_n} \to - \infty \)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to - \infty \).
* Nhận xét:
- Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
- Với c là hằng số, k là một số nguyên dương ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } c = c\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } c = c\),\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\frac{c}{{{x^k}}}) = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\frac{c}{{{x^k}}}) = 0\).
III. Giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm
- Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {a; + \infty } \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\)có giới hạn \( + \infty \) khi \(x \to {a^ + }\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì, \({x_n} > a\) và \({x_n} \to a\)ta có \(f({x_n}) \to + \infty \).
Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = + \infty \)hay \(f(x) \to + \infty \) khi \(x \to {a^ + }\)
- Các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = - \infty \) được định nghĩa tương tự.
IV. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực
- Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\)có giới hạn \( + \infty \) khi \(x \to {x_0}\) về bên trái nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì, \({x_n} > a\) và \({x_n} \to + \infty \) ta có \(f({x_n}) \to + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \).
Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \) hay \(f(x) \to + \infty \) khi \(x \to + \infty \).
- Các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty \) được định nghĩa tương tự.
* Chú ý:
Giới hạn của hàm số là một khái niệm nền tảng trong giải tích, đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu sự biến đổi của hàm số khi biến số tiến tới một giá trị nhất định. Trong chương trình Toán 11 Cánh Diều, học sinh sẽ được làm quen với khái niệm này thông qua các định nghĩa, tính chất và ứng dụng cơ bản.
Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a được ký hiệu là limx→a f(x) = L, nếu với mọi số dương ε (epsilon) nhỏ tùy ý, tồn tại một số dương δ (delta) sao cho nếu 0 < |x - a| < δ thì |f(x) - L| < ε. Nói một cách đơn giản, khi x tiến gần a, giá trị của f(x) tiến gần L.
Có nhiều dạng giới hạn cơ bản thường gặp trong chương trình Toán 11, bao gồm:
Khái niệm giới hạn có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học, bao gồm:
Bài 1: Tính limx→2 (x2 - 4) / (x - 2)
Giải: limx→2 (x2 - 4) / (x - 2) = limx→2 (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = limx→2 (x + 2) = 4
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về Lý thuyết Giới hạn của hàm số - SGK Toán 11 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!
