Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Cánh Diều

Chào mừng bạn đến với chuyên mục Lý thuyết Dãy số của chương trình Toán 11 Cánh Diều tại giaibaitoan.com. Chúng tôi cung cấp đầy đủ và chi tiết các kiến thức quan trọng về dãy số, giúp bạn hiểu rõ bản chất và áp dụng hiệu quả vào giải bài tập.

Dãy số là một khái niệm nền tảng trong Toán học, đặc biệt quan trọng ở chương trình THPT. Việc nắm vững lý thuyết dãy số sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến cấp số cộng, cấp số nhân và các bài toán thực tế một cách dễ dàng.

I. Khái niệm

I. Khái niệm

Dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u: \(\left\{ {1;2;3;...;m} \right\} \to \mathbb{R}\left( {m \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) được gọi là một dãy số hữu hạn.

Do mỗi số nguyên dương \(k\left( {1 \le k \le m} \right)\) tương ứng với đúng một số \({u_k}\) nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_m}\)

Số \({u_1}\) là số hạng đầu; \({u_m}\) là số hạng cuối cùng của dãy số đó.

Dãy số vô hạn

Mỗi hàm số u: \({\mathbb{N}^*} \to \mathbb{R}\) được gọi là một dãy số vô hạn.

Do mỗi số nguyên dương \(n\) tương ứng với đúng một số \({u_n}\) nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_n},...\)

Số \({u_1}\) là số hạng đầu; \({u_n}\) là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

2. Cách cho một dãy số

Một dãy số có thể cho bằng:

Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng).
Công thức của số hạng tổng quát.
Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạn tổng quát của dãy số đó.
Phương pháp truy hồi.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \({u_{n + 1}} > {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có \({u_{n + 1}} < {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

4. Dãy số bị chặn

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu \(\exists \) số M sao cho \({u_n} \le M,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu \(\exists \) số m sao cho \({u_n} \ge m,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho \(m \le {u_n} \le M,\)\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Cánh Diều 1

Chinh phục đỉnh cao Toán 11 và đặt nền móng vững chắc cho cánh cửa Đại học với nội dung Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Cánh Diều trong chuyên mục Sách bài tập Toán 11 trên nền tảng tài liệu toán! Bộ bài tập lý thuyết toán thpt, được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề, sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Cánh Diều

Dãy số là một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn các số thực được sắp xếp theo một thứ tự nhất định. Mỗi phần tử trong dãy số được gọi là một số hạng của dãy số. Dãy số thường được ký hiệu là (u_n), trong đó u_n là số hạng thứ n của dãy số.

1. Khái niệm dãy số

Một dãy số (u_n) được gọi là dãy số nếu với mỗi số nguyên dương n, ta xác định được duy nhất một số thực u_n. Dãy số có thể hữu hạn (ví dụ: 1, 2, 3, 4, 5) hoặc vô hạn (ví dụ: 1, 2, 3, ...).

2. Các loại dãy số thường gặp

Dãy số hữu hạn: Dãy số có số lượng phần tử đếm được.
Dãy số vô hạn: Dãy số có số lượng phần tử không đếm được.
Dãy số tăng: Dãy số mà u_n+1 > u_n với mọi n.
Dãy số giảm: Dãy số mà u_n+1 < u_n với mọi n.
Dãy số không đổi: Dãy số mà u_n+1 = u_n với mọi n.

3. Công thức tổng quát của dãy số

Công thức tổng quát của dãy số là một công thức cho phép tính số hạng thứ n của dãy số dựa trên giá trị của n. Ví dụ, dãy số (u_n) với u_n = 2n + 1 là một dãy số có công thức tổng quát.

4. Dãy số đặc biệt: Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng sau đều lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) số hạng trước một lượng không đổi, gọi là công sai (d). Công thức tổng quát của cấp số cộng là:

u_n = u₁ + (n - 1)d

Trong đó:

u₁ là số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
d là công sai của cấp số cộng.
n là số thứ tự của số hạng cần tìm.

5. Dãy số đặc biệt: Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng sau đều bằng tích của số hạng trước với một số không đổi, gọi là công bội (q). Công thức tổng quát của cấp số nhân là:

u_n = u₁ * q^(n-1)

Trong đó:

u₁ là số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
q là công bội của cấp số nhân.
n là số thứ tự của số hạng cần tìm.

6. Các tính chất của dãy số

Dãy số có nhiều tính chất quan trọng, bao gồm:

Tính đơn điệu: Dãy số tăng, giảm hoặc không đổi.

Tính bị chặn: Dãy số bị chặn trên, bị chặn dưới hoặc bị chặn cả trên và dưới.

Giới hạn của dãy số: Giá trị mà dãy số tiến tới khi n tiến tới vô cùng.

7. Ứng dụng của dãy số

Dãy số có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Tính lãi kép: Tính số tiền lãi sau một thời gian nhất định.
Mô tả sự tăng trưởng dân số: Dự đoán sự tăng trưởng dân số trong tương lai.
Phân tích dữ liệu: Tìm xu hướng và mô hình trong dữ liệu.

8. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 3. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số cộng.

Giải: u₅ = u₁ + (5 - 1)d = 2 + 4 * 3 = 14

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1 và công bội q = 2. Tìm số hạng thứ 4 của cấp số nhân.

Giải: u₄ = u₁ * q^(4-1) = 1 * 2³ = 8

Hy vọng với những kiến thức về lý thuyết dãy số - SGK Toán 11 Cánh Diều này, bạn sẽ có thêm công cụ để giải quyết các bài toán toán học một cách hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt!