Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm

I. Giới thiệu chung

Đạo hàm là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu sự thay đổi của hàm số. Bài 2 trong chương VII của sách Toán 11 tập 2 - Cánh diều tập trung vào việc trình bày các quy tắc tính đạo hàm, giúp học sinh có thể tính đạo hàm của các hàm số phức tạp một cách nhanh chóng và chính xác.

II. Các quy tắc tính đạo hàm

1. Quy tắc đạo hàm của một tổng hoặc hiệu

Nếu 𝑢(𝑥) và 𝑣(𝑥) là hai hàm số có đạo hàm tại 𝑥, thì:

(𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥))’ = 𝑢’(𝑥) + 𝑣’(𝑥)
(𝑢(𝑥) - 𝑣(𝑥))’ = 𝑢’(𝑥) - 𝑣’(𝑥)

Quy tắc này cho phép chúng ta tính đạo hàm của một tổng hoặc hiệu của các hàm số bằng cách tính đạo hàm của từng hàm số thành phần và cộng hoặc trừ các kết quả lại với nhau.

2. Quy tắc đạo hàm của một tích

Nếu 𝑢(𝑥) và 𝑣(𝑥) là hai hàm số có đạo hàm tại 𝑥, thì:

(𝑢(𝑥)𝑣(𝑥))’ = 𝑢’(𝑥)𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥)𝑣’(𝑥)

Đây là quy tắc tích, còn được gọi là quy tắc Leibniz. Nó cho phép chúng ta tính đạo hàm của một tích của hai hàm số mà không cần phải nhân chúng trước.

3. Quy tắc đạo hàm của một thương

Nếu 𝑢(𝑥) và 𝑣(𝑥) là hai hàm số có đạo hàm tại 𝑥 và 𝑣(𝑥) ≠ 0, thì:

(𝑢(𝑥)/𝑣(𝑥))’ = (𝑢’(𝑥)𝑣(𝑥) - 𝑢(𝑥)𝑣’(𝑥)) / (𝑣(𝑥))^2

Đây là quy tắc thương, cho phép chúng ta tính đạo hàm của một thương của hai hàm số.

4. Quy tắc đạo hàm của hàm hợp

Nếu 𝑦 = 𝑓(𝑢(𝑥)) và 𝑢(𝑥) có đạo hàm tại 𝑥, thì:

𝑑𝑦/𝑑𝑥 = 𝑓’(𝑢(𝑥)) ⋅ 𝑢’(𝑥)

Đây là quy tắc chuỗi, cho phép chúng ta tính đạo hàm của một hàm hợp bằng cách nhân đạo hàm của hàm ngoài với đạo hàm của hàm trong.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số 𝑓(𝑥) = 3𝑥^2 + 2𝑥 - 1

Áp dụng quy tắc đạo hàm của một tổng hoặc hiệu, ta có:

𝑓’(𝑥) = (3𝑥^2)’ + (2𝑥)’ - (1)’ = 6𝑥 + 2 - 0 = 6𝑥 + 2

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số 𝑔(𝑥) = 𝑥^2 ⋅ sin(𝑥)

Áp dụng quy tắc đạo hàm của một tích, ta có:

𝑔’(𝑥) = (𝑥^2)’ ⋅ sin(𝑥) + 𝑥^2 ⋅ (sin(𝑥))’ = 2𝑥 ⋅ sin(𝑥) + 𝑥^2 ⋅ cos(𝑥)

IV. Bài tập vận dụng

Tính đạo hàm của các hàm số sau:
- 𝑦 = 5𝑥^3 - 4𝑥 + 7
- 𝑦 = (𝑥 + 1)(𝑥^2 - 2𝑥 + 3)
- 𝑦 = cos(2𝑥)
Cho hàm số 𝑓(𝑥) = (𝑥^2 + 1) / (𝑥 - 1). Tính 𝑓’(2).

V. Kết luận

Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm cung cấp những công cụ cần thiết để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp. Việc nắm vững các quy tắc này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm trong chương trình Toán 11 và các chương trình nâng cao hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của bạn.