Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết các quy tắc tính đạo hàm trong chương trình Toán 11 Cánh diều. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho việc giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong các lĩnh vực khác.
Bài viết này sẽ cung cấp một cách hệ thống và dễ hiểu về các quy tắc tính đạo hàm cơ bản, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể để giúp bạn nắm vững kiến thức.
1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương Giả sử f = f(x), g = g(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.
1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Giả sử f = f(x), g = g(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {f + g} \right)' = f' + g';\\\left( {f - g} \right)' = f' - g';\\\left( {fg} \right)' = f'g + fg';\\\left( {\frac{f}{g}} \right)' = \frac{{f'g - fg'}}{{{g^2}}}\left( {g = g\left( x \right) \ne 0} \right).\end{array}\)
2. Đạo hàm của hàm hợp
Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là \(u{'_x}\) và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại y là \(y{'_u}\) thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x}\).
3. Bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp
Đạo hàm là một khái niệm cơ bản trong giải tích, mô tả tốc độ thay đổi tức thời của một hàm số. Việc nắm vững các quy tắc tính đạo hàm là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến tối ưu hóa, tìm cực trị, và nhiều ứng dụng khác.
Trước khi đi vào các quy tắc, chúng ta cần nắm vững đạo hàm của một số hàm số cơ bản:
Nếu u và v là các hàm số có đạo hàm, thì:
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x2 + 2x - 5
f'(x) = (3x2)' + (2x)' - (5)' = 6x + 2 - 0 = 6x + 2
Nếu u và v là các hàm số có đạo hàm, thì:
(uv)' = u'v + uv'
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x2sin(x)
f'(x) = (x2)'sin(x) + x2(sin(x))' = 2xsin(x) + x2cos(x)
Nếu u và v là các hàm số có đạo hàm và v ≠ 0, thì:
(u/v)' = (u'v - uv') / v2
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = cos(x) / x
f'(x) = (cos(x))'x - cos(x)(x)' / x2 = -sin(x)x - cos(x) / x2 = (-xsin(x) - cos(x)) / x2
Nếu y = f(u) và u = g(x), thì:
dy/dx = (dy/du) * (du/dx)
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sin(x2)
Đặt u = x2, thì f(x) = sin(u)
dy/dx = (sin(u))' * (x2)' = cos(u) * 2x = cos(x2) * 2x = 2xcos(x2)
| Hàm số | Đạo hàm |
|---|---|
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | -sin(x) |
| tan(x) | 1/cos2(x) |
| cot(x) | -1/sin2(x) |
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và đầy đủ về lý thuyết các quy tắc tính đạo hàm trong chương trình Toán 11 Cánh diều. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.
