Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản, thuộc chương trình SGK Toán 11 Cánh Diều tại giaibaitoan.com. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết về các khái niệm, định nghĩa, công thức và phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản.
Chúng tôi tin rằng, với sự hướng dẫn rõ ràng và bài tập thực hành phong phú, bạn sẽ dễ dàng nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
1. Khái niệm phương trình tương đương
1. Khái niệm phương trình tương đương
- Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
- Nếu phương trình f(x) =0 tương đương với phương trình g(x) =0 thì ta viết \(f(x) = 0 \Leftrightarrow g(x) = 0\)
*Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là hai phương trình tương đương.
- Các phép biến đổi tương đương:
+ Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức.
+ Nhân hoặc chia 2 vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.
2. Phương trình \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = m\)
Phương trình sinx=m có nghiệm khi và chỉ khi \(\left| m \right| \le 1\).
Khi \(\left| m \right| \le 1\)sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thoả mãn \(\sin \alpha = m\). Khi đó:
\({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
* Chú ý:
a, Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì \(\sin x = \sin {\alpha ^o} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha ^o} + k{360^o}\\x = {180^o} - {\alpha ^o} + k{360^o}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b,Một số trường hợp đặc biệt
\(\begin{array}{l}\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)
3. Phương trình \({\rm{cosx}} = m\)
Phương trình \({\rm{cosx}} = m\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\left| m \right| \le 1\).
Khi \(\left| m \right| \le 1\) sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]\) thoả mãn \({\rm{cos}}\alpha = m\). Khi đó:
\({\rm{cosx}} = m \Leftrightarrow {\rm{cosx}} = {\rm{cos}}\alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
* Chú ý:
a, Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì \(\cos x = \cos {\alpha ^o} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha ^o} + k{360^o}\\x = - {\alpha ^o} + k{360^o}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b, Một số trường hợp đặc biệt
\(\begin{array}{l}{\rm{cos}}x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\{\rm{cos}}x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\{\rm{cos}}x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)
4. Phương trình \(\tan x = m\)
Phương trình \(\tan x = m\)có nghiệm với mọi m.
Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) thoả mãn \(\tan \alpha = m\). Khi đó:
\(\tan {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
*Chú ý: Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì
\(\tan x = \tan {\alpha ^o} \Leftrightarrow x = {\alpha ^o} + k{180^o},k \in \mathbb{Z}.\)
5. Phương trình \(\cot x = m\)
Phương trình \(\cot x = m\)có nghiệm với mọi m.
Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( {0;\pi } \right)\) thoả mãn \(\cot \alpha = m\). Khi đó:
\(\cot {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
*Chú ý: Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì
\(\cot x = \cot {\alpha ^o} \Leftrightarrow x = {\alpha ^o} + k{180^o},k \in \mathbb{Z}.\)
6. Sử dụng máy tính cầm tay tìm góc khi biết giá trị lượng giác của nó
Bước 1. Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc radian).
Muốn tìm số đo độ, ta ấn: SHIFT \( \to \)MODE \( \to \)3 (CASIO FX570VN).
Muốn tìm số đo radian, ta ấn: SHIFT \( \to \)MODE \( \to \)4 (CASIO FX570VN).
Bước 2. Tìm số đo góc.
Khi biết SIN, COS, TANG của góc \(\alpha \)ta cần tìm bằng m, ta lần lượt ấn các phím SHIFT và một trong các phím SIN, COS, TANG rồi nhập giá trị lượng giác m và cuối cùng ấn phím “BẰNG =”. Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc \(\alpha \)
Phương trình lượng giác là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 11, đặc biệt là với SGK Cánh Diều. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong các kỳ thi và ứng dụng thực tế.
a. Phương trình lượng giác: Là phương trình có chứa hàm số lượng giác (sin, cos, tan, cot) với ẩn số là góc lượng giác.
b. Nghiệm của phương trình lượng giác: Là giá trị của ẩn số (góc lượng giác) thỏa mãn phương trình.
c. Nghiệm tổng quát: Là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình, được biểu diễn dưới dạng công thức tổng quát.
a. Phương trình sin(x) = a (với -1 ≤ a ≤ 1):
b. Phương trình cos(x) = a (với -1 ≤ a ≤ 1):
c. Phương trình tan(x) = a (với mọi a ∈ R):
d. Phương trình cot(x) = a (với mọi a ∈ R):
Việc nắm vững các công thức lượng giác là rất quan trọng để giải phương trình lượng giác. Một số công thức thường dùng bao gồm:
a. Đưa về phương trình cơ bản: Sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi phương trình về một trong các dạng cơ bản đã nêu ở trên.
b. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ: Trong một số trường hợp, việc đặt ẩn phụ có thể giúp đơn giản hóa phương trình và dễ dàng giải hơn.
c. Sử dụng vòng tròn lượng giác: Vòng tròn lượng giác là một công cụ hữu ích để tìm nghiệm của phương trình lượng giác, đặc biệt là các phương trình có dạng sin(x) = a hoặc cos(x) = a.
Ví dụ 1: Giải phương trình sin(x) = 1/2
Giải:
x = arcsin(1/2) + k2π = π/6 + k2π hoặc x = π - arcsin(1/2) + k2π = 5π/6 + k2π, k ∈ Z
Ví dụ 2: Giải phương trình cos(x) = -√2/2
Giải:
x = arccos(-√2/2) + k2π = 3π/4 + k2π hoặc x = -arccos(-√2/2) + k2π = 5π/4 + k2π, k ∈ Z
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản - SGK Toán 11 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!
