Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 tập 1 của giaibaitoan.com. Ở đây, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho tất cả các bài tập trong sách giáo khoa Toán 11 tập 1 - Cánh Diều.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
Trong không gian, cho điểm M và đường thẳng d không đi qua điểm M (Hình 36). Nêu dự đoán về số đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng d.
Trong không gian, cho điểm M và đường thẳng d không đi qua điểm M (Hình 36). Nêu dự đoán về số đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng d.
Phương pháp giải:
Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho
Lời giải chi tiết:
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng d
Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt a, b, c, trong đó \(a = (P) \cap (R),b = (Q) \cap (R),c = (P) \cap (Q)\)
- Nếu hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm M thì đường thẳng c có đi qua điểm M hay không (Hình 38a)?
- Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b thì đường thẳng a có song song với đường thẳng c hay không (Hình 38b)?
Phương pháp giải:
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
Lời giải chi tiết:
- Nếu hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm M thì đường thẳng c đi qua điểm M
- Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b thì đường thẳng a song song với đường thẳng c
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD); (SAD) và (SBC).
Phương pháp giải:
Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm điểm chung của chúng.
Đường thẳng đi qua hai điểm chung là giao tuyến
Lời giải chi tiết:
Ta có: AB thuộc (SAB)
CD thuộc (SCD)
Mà AB // CD, S là giao điểm của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
Từ S kẻ Sx sao cho Sx // AB // CD
Vậy Sx là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
Chứng minh tương tự, ta có: Sy là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Trong mặt phẳng, hãy nêu vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba.
Phương pháp giải:
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Lời giải chi tiết:
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau
Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SA, SC. Lấy các điểm P, Q lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB, BC sao cho \(\frac{{BP}}{{BA}} = \frac{{BQ}}{{BC}} = \frac{1}{3}\). Chứng minh rằng MN song song với PQ.
Phương pháp giải:
- Nếu ba mp phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc song song với nhau
- Hệ quả: Nếu hai mp phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó
- Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau
\(\left\{ \begin{array}{l}a \ne b\\a//c\\b//c\end{array} \right. \Rightarrow a//b\)
Lời giải chi tiết:
Ta có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC
Do đó, tam giác SAC có MN // AC (1)
Ta có: \(\frac{{BP}}{{BA}} = \frac{{BQ}}{{BC}} = \frac{1}{3}\)
Suy ra: PQ // AC (2)
Từ (1) và (2), suy ra: MN // PQ
Mục 2 của SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều tập trung vào các kiến thức về phép biến hình. Cụ thể, các em sẽ được làm quen với các phép biến hình cơ bản như phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm. Việc nắm vững các kiến thức này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán hình học trong chương trình học.
Phép tịnh tiến là phép biến hình di chuyển mỗi điểm trong mặt phẳng một khoảng không đổi theo một hướng xác định. Để thực hiện phép tịnh tiến, ta cần xác định vectơ tịnh tiến. Vectơ tịnh tiến này sẽ chỉ ra hướng và độ dài của sự di chuyển.
Phép quay là phép biến hình biến mỗi điểm trong mặt phẳng thành một điểm khác sao cho khoảng cách từ điểm đó đến một điểm cố định (gọi là tâm quay) không đổi và góc giữa hai đoạn thẳng nối điểm ban đầu và điểm mới với tâm quay là một góc cố định (gọi là góc quay).
Phép đối xứng trục là phép biến hình biến mỗi điểm trong mặt phẳng thành một điểm khác sao cho đường thẳng nối hai điểm đó vuông góc với một đường thẳng cố định (gọi là trục đối xứng) và trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên trục đối xứng.
Phép đối xứng tâm là phép biến hình biến mỗi điểm trong mặt phẳng thành một điểm khác sao cho trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm là một điểm cố định (gọi là tâm đối xứng).
Bài 1 (trang 97): Cho điểm A(1; 2) và vectơ v = (3; -1). Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ v.
Lời giải: Sử dụng công thức x' = x + vx và y' = y + vy, ta có x' = 1 + 3 = 4 và y' = 2 + (-1) = 1. Vậy A'(4; 1).
Bài 2 (trang 98): Cho điểm B(-2; 3) và tâm quay O(0; 0), góc quay α = 90°. Tìm tọa độ điểm B' là ảnh của B qua phép quay QO,90°.
Lời giải: Sử dụng công thức x' = x cos α - y sin α và y' = x sin α + y cos α, ta có x' = -2 cos 90° - 3 sin 90° = -3 và y' = -2 sin 90° + 3 cos 90° = -2. Vậy B'(-3; -2).
Bài 3 (trang 99): Cho điểm C(4; -1) và đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Tìm tọa độ điểm C' là ảnh của C qua phép đối xứng trục Dd.
Lời giải: Tìm phương trình đường thẳng Δ đi qua C và vuông góc với d: Δ có dạng x - y + c = 0. Thay C(4; -1) vào, ta được 4 - (-1) + c = 0 => c = -5. Vậy Δ: x - y - 5 = 0. Tìm giao điểm I của d và Δ: Giải hệ phương trình x + y - 2 = 0 và x - y - 5 = 0, ta được I(3.5; -0.5). I là trung điểm của CC', suy ra xC' = 2xI - xC = 2(3.5) - 4 = 3 và yC' = 2yI - yC = 2(-0.5) - (-1) = 0. Vậy C'(3; 0).
Bài 4 (trang 100): Cho điểm D(-1; 5) và tâm đối xứng I(2; 1). Tìm tọa độ điểm D' là ảnh của D qua phép đối xứng tâm DI.
Lời giải: I là trung điểm của DD', suy ra xD' = 2xI - xD = 2(2) - (-1) = 5 và yD' = 2yI - yD = 2(1) - 5 = -3. Vậy D'(5; -3).
Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về các phép biến hình và có thể tự tin giải các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!
