Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trong chương trình Toán 11 Cánh diều. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu các định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết và các ứng dụng thực tế của lý thuyết này. Giaibaitoan.com cam kết mang đến cho bạn một trải nghiệm học tập hiệu quả và thú vị.
1. Định nghĩa Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu đường thẳng d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P), kí hiệu \(d \bot \left( P \right)\) hoặc \(\left( P \right) \bot d\).
1. Định nghĩa
Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu đường thẳng d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P), kí hiệu \(d \bot \left( P \right)\) hoặc \(\left( P \right) \bot d\).
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
Nhận xét: Ta có thể chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
3. Tính chất
- Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
- Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
- Tính chất 3:
Cho hai đường thẳng song song. Một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- Tính chất 4:
Cho hai mặt phẳng song song. Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
5. Phép chiếu vuông góc
Cho mặt phẳng (P) và một điểm M tuỳ ý trong không gian. Lấy đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P), gọi giao điểm của d và (P) là M’. Điểm M’ gọi là hình chiếu vuông góc (hay hình chiếu) của điểm M trên (P).
Cho mặt phẳng (P). Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu vuông góc M’ của điểm đó lên mặt phẳng (P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).
Nhận xét: Vì phép chiếu vuông góc là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song (khi phương chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu) nên phép chiếu vuông góc có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song.
6. Định lí ba đường vuông góc
Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó, d vuông góc với a khi và chỉ khi d vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).
Trong chương trình Hình học không gian lớp 11, chủ đề về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đóng vai trò then chốt. Việc nắm vững lý thuyết này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn liên quan đến quan hệ không gian.
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng: Điểm chung giữa đường thẳng và mặt phẳng được gọi là giao điểm.
Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng: Tập hợp các điểm trên mặt phẳng là hình chiếu của các điểm trên đường thẳng.
Có hai điều kiện chính để một đường thẳng được xem là vuông góc với một mặt phẳng:
Để nhận biết một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta có thể sử dụng các dấu hiệu sau:
Lý thuyết về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh SA vuông góc với BD.
Giải: Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và BD nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông góc với BD.
Bài tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (ADD'A').
Giải: Ta có AC vuông góc với AD và AC vuông góc với AA'. Do đó, AC vuông góc với mặt phẳng (ADD'A').
Để hiểu sâu hơn về chủ đề này, bạn có thể tìm hiểu thêm về:
Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết về lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - Toán 11 Cánh diều. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.
| Khái niệm | Định nghĩa |
|---|---|
| Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng | Đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc vuông. |
| Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng | Tập hợp các điểm trên mặt phẳng là hình chiếu của các điểm trên đường thẳng. |
