Bài 4 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Giải tích của môn Toán lớp 11, tập trung vào việc xét tính đơn điệu của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số, từ đó hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 4 trang 79, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Tính các giới hạn sau: a) (mathop {lim }limits_{x to - infty } frac{{6x + 8}}{{5x - 2}}); b) (mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{6x + 8}}{{5x - 2}});
Đề bài
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}}\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}}\);
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}}\);
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}}\);
e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}}\);
g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng phương pháp:
- Chia cả tử và mẫu cho \({x^n}\), với n là số mũ cao nhất trong biểu thức đối với câu a, b.
- Câu c, d: \(\sqrt {{x^2}} = \left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x,x \to + \infty \\ - x,x \to - \infty \end{array} \right.\)
- Câu d, e sử dụng giới hạn cơ bản sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{1}{{x - a}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \frac{1}{{x - a}} = - \infty \)
Lời giải chi tiết
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\left( {6 + \frac{8}{x}} \right)}}{{x\left( {5 - \frac{2}{x}} \right)}} = \frac{6}{5}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {6 + \frac{8}{x}} \right)}}{{x\left( {5 - \frac{2}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6 + \frac{8}{x}}}{{5 - \frac{2}{x}}} = \frac{6}{5}\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {9 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {3 - \frac{2}{x}} \right)}} = - \frac{3}{3} = - 1\).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\sqrt {9 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {3 - \frac{2}{x}} \right)}} = \frac{3}{3} = 1\).
e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}} = - \infty \)
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \left( {3{x^2} + 1} \right) = 3.{\left( { - 2} \right)^2} + 1 = 13 > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{1}{{2x + 4}} = - \infty \)
g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}} = + \infty \).
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \left( {3{x^2} + 1} \right) = 3.{\left( { - 2} \right)^2} + 1 = 13 > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{1}{{2x + 4}} = + \infty \)
Bài 4 yêu cầu xét tính đơn điệu của hàm số sau:
f(x) = 2x3 - 3x2 + 1
f'(x) = 6x2 - 6x
Hàm số f(x) = 2x3 - 3x2 + 1 xác định trên tập số thực R.
6x2 - 6x = 0
6x(x - 1) = 0
Suy ra x = 0 hoặc x = 1
Khi xét tính đơn điệu của hàm số, việc tìm đúng tập xác định và giải chính xác phương trình f'(x) = 0 là rất quan trọng. Sau đó, việc xét dấu đạo hàm trên các khoảng xác định cần được thực hiện cẩn thận để đưa ra kết luận chính xác.
Để hiểu sâu hơn về tính đơn điệu của hàm số, bạn có thể tìm hiểu thêm về:
Để rèn luyện kỹ năng xét tính đơn điệu của hàm số, bạn có thể giải các bài tập sau:
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể này, bạn đã nắm vững cách giải Bài 4 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!
