Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 3 trang 26, 27 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán.
Bài tập này thuộc chương trình học Toán 11 tập 1, tập trung vào các kiến thức về phép biến hình.
Với mỗi số thực x, tồn tại duy nhất điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (left( {OA,OM} right) = xleft( {rad} right)) (Hình 26). Hãy xác định (cos x)
Với mỗi số thực x, tồn tại duy nhất điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho \(\left( {OA,OM} \right) = x\left( {rad} \right)\) (Hình 26). Hãy xác định \(\cos x\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính giá trị của cosin
Lời giải chi tiết:
\(\cos x = \frac{{OH}}{{OM}}\)
Cho hàm số \(y = \cos x\)
a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:
x | \( - \pi \) | \( - \frac{{2\pi }}{3}\) | \[ - \frac{\pi }{2}\] | \( - \frac{\pi }{3}\) | 0 | \(\frac{\pi }{3}\) | \(\frac{\pi }{2}\) | \(\frac{{2\pi }}{3}\) | \(\pi \) |
\(y = \cos x\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm \(\left( {x;\cos x} \right)\) với \(x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\) và nối lại ta được đồ thị hàm
số \(y = \cos x\) trên đoạn \(x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\) (Hình 27)
c) Làm tương tự như trên đối với các đoạn \(\left[ { - 3\pi ; - \pi } \right]\), \(\left[ {\pi ;3\pi } \right]\),...ta có đồ thị hàm số \(y = \cos x\)trên R được biểu diễn ở Hình 28.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính giá trị của cosin
Lời giải chi tiết:
a)
x | \( - \pi \) | \( - \frac{{2\pi }}{3}\) | \[ - \frac{\pi }{2}\] | \( - \frac{\pi }{3}\) | 0 | \(\frac{\pi }{3}\) | \(\frac{\pi }{2}\) | \(\frac{{2\pi }}{3}\) | \(\pi \) |
\(y = \cos x\) | -1 | \( - \frac{1}{2}\) | 0 | \(\frac{1}{2}\) | 1 | \(\frac{1}{2}\) | 0 | \( - \frac{1}{2}\) | -1 |
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm \(\left( {x;\cos x} \right)\) với \(x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\) và nối lại ta được đồ thị hàm số \(y = \cos x\) trên đoạn \(x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\) (Hình 27)
c) Làm tương tự như trên đối với các đoạn \(\left[ { - 3\pi ; - \pi } \right]\), \(\left[ {\pi ;3\pi } \right]\),...ta có đồ thị hàm số \(y = \cos x\)trên R được biểu diễn ở Hình 28.
Quan sát đồ thị \(y = \cos x\) ở Hình 28
a) Nêu tập giá trị của hàm số \(y = \cos x\)
b) Trục tung có là trục đối xứng của đồ thị hàm số không? Từ đó kết luận tính chẵn, lẻ của hàm số \(y = \cos x\)
c) Bằng cách dịch chuyển đồ thị \(y = \cos x\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài \(2\pi \), ta nhận được đồ thị có hàm số \(y = \cos x\) trên đoạn \(\left[ {\pi ;3\pi } \right]\) hay không? Hàm số \(y = \cos x\) có tuần hoàn hay không?
d) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y = \cos x\)
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa về hàm số cosin
Lời giải chi tiết:
a) Tập giá trị của hàm số \(y = \cos x\)là \(\left[ { - 1;1} \right]\)
b) Trục tung là trục đối xứng của hàm số \(y = \cos x\).
Như vậy hàm số \(y = \cos x\)là hàm số chẵn.
c) Bằng cách dịch chuyển đồ thị \(y = \cos x\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài \(2\pi \), ta nhận được đồ thị có hàm số \(y = \cos x\) trên đoạn \(\left[ {\pi ;3\pi } \right]\)
Như vậy hàm số \(y = \cos x\) là hàm số tuần hoàn
d) Hàm số \(y = \cos x\)đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \pi + k2\pi ;k2\pi } \right)\), nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)\) với \(k \in Z\)
Hàm số \(y = \cos x\) đồng biến hay nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2\pi ; - \pi } \right)\)
Hàm số \(y = \cos x\)đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \pi + k2\pi ;k2\pi } \right)\), nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)\) với \(k \in Z\)
Phương pháp giải:
Sử dụng khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số cosin.
Lời giải chi tiết:
Do \(\left( { - 2\pi ; - \pi } \right) = \left( { - 2\pi ;\pi - 2\pi } \right)\) nên hàm số \(y = \cos x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2\pi ; - \pi } \right)\)
Mục 3 của SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều tập trung vào việc nghiên cứu sâu hơn về phép biến hình, đặc biệt là phép tịnh tiến, phép quay, và phép đối xứng. Các bài tập trang 26 và 27 yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế, liên quan đến việc xác định ảnh của một điểm, một đường thẳng, hoặc một hình qua phép biến hình.
Để giải các bài tập trong mục 3, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về phép biến hình, bao gồm:
Bài 1: Cho điểm A(1; 2) và vectơ tịnh tiến v = (3; -1). Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ v.
Lời giải:
Áp dụng công thức phép tịnh tiến: A'(x' ; y') = A(x; y) + v(a; b) = (x + a; y + b)
Thay số: A'(1 + 3; 2 - 1) = A'(4; 1)
Bài 2: Cho điểm B(-2; 3) và tâm quay O(0; 0), góc quay 90 độ. Tìm tọa độ điểm B' là ảnh của B qua phép quay tâm O, góc 90 độ.
Lời giải:
Áp dụng công thức phép quay: x' = x*cos(α) - y*sin(α); y' = x*sin(α) + y*cos(α)
Với α = 90 độ, cos(90) = 0, sin(90) = 1
Thay số: x' = -2*0 - 3*1 = -3; y' = -2*1 + 3*0 = -2
Vậy B'(-3; -2)
Để giải nhanh các bài tập về phép biến hình, học sinh nên:
Phép biến hình có nhiều ứng dụng trong thực tế, như:
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập trang 26, 27 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về phép biến hình và tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Chúc các em học tập tốt!
