Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Phép tính Lôgarit trong chương trình Toán 11 Cánh diều. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết về các khái niệm, tính chất và ứng dụng của phép tính lôgarit.
Chúng tôi tại giaibaitoan.com cam kết mang đến những tài liệu học tập chất lượng cao, giúp bạn học toán hiệu quả và đạt kết quả tốt nhất.
1. Khái niệm lôgarit a) Định nghĩa
1. Khái niệm lôgarit
a) Định nghĩa
Với a > 0, a \( \ne \) 1 và b > 0, ta có: \(c = {\log _a}b \Leftrightarrow {a^c} = b\). Ngoài ra:
- Lôgarit thập phân của b là lôgarit cơ số 10 của số thực dương b:
\(c = \log b \Leftrightarrow {10^c} = b\)
- Lôgarit tự nhiên của b là lôgarit cơ số e của số thực dương b:
\(c = \ln b \Leftrightarrow {e^c} = b\).
b) Tính chất
Với a > 0, a \( \ne \) 1 và b > 0, ta có:
\({\log _a}1 = 0\); \({\log _a}a = 1\); \({\log _a}{a^c} = c\); \({a^{{{\log }_a}b}} = b\).
2. Một số tính chất của phép tính lôgarit
Trong mục này, ta xét a > 0, a \( \ne \) 1 và b > 0.
a) Lôgarit của một tích, một thương
Với m > 0, n > 0, ta có:
Nhận xét: \({\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) = - {\log _a}b\).
b) Lôgarit của một lũy thừa
Với mọi số thực \(\alpha \), ta có: \({\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\).
Nhận xét: Với mọi số nguyên dương \(n \ge 2\), ta có: \({\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _a}b\).
c) Đổi cơ số của lôgarit
Với a, b là hai số thực dương khác 1 và c là số thực dương, ta có: \({\log _b}c = \frac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}}\).
Nhận xét: Với a, b là hai số thực dương khác 1, c > 0 và \(\alpha \ne 0\), ta có những công thức sau:
Phép tính lôgarit là một trong những khái niệm quan trọng trong chương trình Toán 11, đặc biệt là trong chương trình Cánh diều. Nó đóng vai trò nền tảng cho nhiều kiến thức toán học nâng cao hơn, cũng như có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật.
Lôgarit của một số dương b (với b ≠ 1) cơ số a (với a > 0 và a ≠ 1) là số x sao cho ax = b. Ký hiệu: x = logab.
Lôgarit logab tồn tại khi và chỉ khi a > 0, a ≠ 1 và b > 0.
Lôgarit thập phân (cơ số 10):log10x thường được ký hiệu đơn giản là log x.
Lôgarit tự nhiên (cơ số e):logex thường được ký hiệu là ln x, trong đó e là số Euler (e ≈ 2.71828).
Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức lôgarit. Để giải phương trình lôgarit, ta thường sử dụng các tính chất của lôgarit để biến đổi phương trình về dạng đơn giản hơn, sau đó giải phương trình kết quả.
Ví dụ: Giải phương trình log2(x + 1) = 3
Ta có: x + 1 = 23 = 8
Suy ra: x = 7
Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức lôgarit. Cách giải bất phương trình lôgarit tương tự như giải phương trình lôgarit, nhưng cần chú ý đến việc xét dấu của biểu thức lôgarit.
Ví dụ: Giải bất phương trình log0.5(x - 2) > 1
Vì cơ số 0.5 < 1, ta có: x - 2 < (0.5)1 = 0.5
Suy ra: x < 2.5 và x - 2 > 0 (điều kiện xác định của lôgarit)
Vậy nghiệm của bất phương trình là 2 < x < 2.5
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về Lý thuyết Phép tính Lôgarit - Toán 11 Cánh diều. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.
