Bài 6 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương Hàm số lượng giác và đồ thị. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu và cực trị của hàm số lượng giác để giải quyết các bài toán cụ thể.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán hiệu quả.
Một gia đình mua một chiếc ô tô giá 800 triệu đồng. Trung bình sau mỗi năm sử dụng, giá trị của ô tô giảm đi 4% (so với năm trước đó).
Đề bài
Một gia đình mua một chiếc ô tô giá 800 triệu đồng. Trung bình sau mỗi năm sử dụng, giá trị của ô tô giảm đi 4% (so với năm trước đó).
a) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau 1 năm, 2 năm sử dụng
b) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau n năm sử dụng
c) Sau 10 năm, giá trị của ô tô ước tính còn bao nhiêu triệu đồng?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào cấp số nhân để tính
Lời giải chi tiết
a) Công thức tính giá trị của ô tô:
- Sau 1 năm: \(800 - 800.4\% = 768\) (triệu đồng)
- Sau 2 năm: \(768 - 768.4\% = 737,28\) (triệu đồng)
b) Công thức tính giá trị của ô tô sau n năm sử dụng: \({S_n} = 800{\left( {1 - 0,04} \right)^n}\)
c) Sau 10 năm, giá trị của ô tô ước tính còn: \({S_{10}} = 800{\left( {1 - 0,04} \right)^{10}} \approx 531,87\) (triệu đồng)
Bài 6 yêu cầu xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải bài này, chúng ta cần xác định tập xác định của hàm số, tính đạo hàm cấp một, tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định, và cuối cùng là xét dấu đạo hàm trên các khoảng xác định để kết luận về tính đơn điệu của hàm số.
Đầu tiên, ta tìm tập xác định của hàm số. Vì hàm sin và cos xác định với mọi x, nên tập xác định của hàm số là R.
Tiếp theo, ta tính đạo hàm cấp một của hàm số:
y' = 2cos(x) - sin(x)
Để tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0, ta giải phương trình:
2cos(x) - sin(x) = 0
⇔ tan(x) = 2
⇔ x = arctan(2) + kπ, k ∈ Z
Bây giờ, ta xét dấu đạo hàm trên các khoảng xác định. Ta có thể sử dụng bảng xét dấu hoặc phương pháp xét dấu trực tiếp.
Khi x < arctan(2) + kπ, thì tan(x) < 2, do đó y' < 0. Hàm số nghịch biến trên khoảng này.
Khi x > arctan(2) + kπ, thì tan(x) > 2, do đó y' > 0. Hàm số đồng biến trên khoảng này.
Vậy, hàm số y = 2sin(x) + cos(x) nghịch biến trên các khoảng (arctan(2) + kπ, arctan(2) + (k+1)π) và đồng biến trên các khoảng (arctan(2) + (k-1)π, arctan(2) + kπ), k ∈ Z.
Tương tự như phần a, ta tìm tập xác định của hàm số, tập xác định là R.
Tính đạo hàm cấp một:
y' = 2sin(x)cos(x) + sin(x) = sin(x)(2cos(x) + 1)
Giải phương trình y' = 0:
sin(x) = 0 hoặc 2cos(x) + 1 = 0
⇔ x = kπ hoặc cos(x) = -1/2
⇔ x = kπ hoặc x = ±2π/3 + kπ, k ∈ Z
Xét dấu đạo hàm trên các khoảng xác định:
Khi x < kπ, sin(x) có thể dương hoặc âm, nhưng 2cos(x) + 1 có thể dương hoặc âm. Cần xét kỹ hơn để xác định dấu của y'.
Khi x = kπ, y' = 0.
Khi x = 2π/3 + kπ, y' = 0.
Khi x = -2π/3 + kπ, y' = 0.
Bằng cách xét dấu đạo hàm trên các khoảng xác định, ta có thể kết luận về tính đơn điệu của hàm số.
Khi xét tính đơn điệu của hàm số, cần chú ý đến tập xác định của hàm số và các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Việc xét dấu đạo hàm trên các khoảng xác định là bước quan trọng để kết luận về tính đơn điệu của hàm số.
Bài 6 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm và xét dấu đạo hàm là chìa khóa để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả.
