Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Giải tích của môn Toán lớp 11, tập trung vào việc xét tính đơn điệu của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số, từ đó hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 8 trang 58, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số (left( {{u_n}} right)) sau, biết số hạng tổng quát:
Đề bài
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau, biết số hạng tổng quát:
a) \(u_n = \frac{n}{n+1}\)
b) \(u_n = \frac{2}{5^n}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng khái niệm, định nghĩa tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số.
Lời giải chi tiết
a) \(u_n = \frac{n}{n+1}\)
Xét hiệu
\(u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1}\)
\(= \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2}{n^2 + 3n + 2} = \frac{n^2 + n + 1}{n^2 + 3n + 2} > 0\)
Do đó \(u_n + 1 > u_n \quad (1)\)
Ta có: \(u_n = \frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}\)
Vì \(0 < \frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{2} \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \) nên \( -\frac{1}{2} \leq -\frac{1}{n+1} < 0 \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^*\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq 1 - \frac{1}{n+1} < 1 \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^*\)
hay \(\frac{1}{2} \leq u_n < 1\) với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \quad (2)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(u_n\) là dãy số tăng và bị chặn.
b) \(u_n = \frac{2}{5^n}\)
Xét hiệu
\(u_{n+1} - u_n = \frac{2}{5^{n+1}} - \frac{2}{5^n}\)
\(= \frac{2 - 2 \cdot 5}{5^{n+1}} = \frac{2 - 10}{5^{n+1}} = -\frac{8}{5^{n+1}} < 0\)
Do đó \(u_n + 1 < u_n \quad (3)\)
Vì \(0 < \frac{2}{5^n} \leq \frac{2}{5}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^* \quad (4)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(u_n\) là dãy số giảm và bị chặn.
Bài 8 yêu cầu xét tính đơn điệu của hàm số sau:
f(x) = 2x3 - 3x2 + 1
f'(x) = 6x2 - 6x
Hàm số f(x) = 2x3 - 3x2 + 1 xác định trên tập số thực R.
6x2 - 6x = 0
6x(x - 1) = 0
Suy ra x = 0 hoặc x = 1
| x | -∞ | 0 | 1 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | NB | ĐB | NB |
(NB: Đồng biến, ĐB: Nghịch biến)
Hàm số f(x) = 2x3 - 3x2 + 1:
Tính đơn điệu của hàm số là một khái niệm quan trọng trong giải tích, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự thay đổi của hàm số khi biến số thay đổi. Việc nắm vững kiến thức về tính đơn điệu của hàm số là cần thiết để giải quyết các bài toán tối ưu hóa, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Ngoài ra, việc hiểu rõ về tính đơn điệu của hàm số còn giúp chúng ta ứng dụng vào các lĩnh vực khác như kinh tế, tài chính, vật lý,...
Để củng cố kiến thức về tính đơn điệu của hàm số, bạn có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
giaibaitoan.com hy vọng rằng lời giải chi tiết cho Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về kiến thức này và tự tin giải các bài tập tương tự. Chúc bạn học tập tốt!
