Bài 4 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Bài 4 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 4 thuộc chương trình Giải tích lớp 11, tập trung vào việc xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải bài này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, điều kiện đơn điệu của hàm số và cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.

Nội dung bài tập

Bài 4 yêu cầu xét tính đơn điệu của các hàm số sau trên các khoảng được chỉ định:

• a) y = x³ - 3x² + 2 trên khoảng (-∞; 1)
• b) y = x⁴ - 4x³ + 4x² + 1 trên khoảng (0; 2)
• c) y = (x - 1)²(x + 2) trên khoảng (-2; 1)

Hướng dẫn giải chi tiết

Để giải bài tập này, ta thực hiện các bước sau:

1. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số y = f(x).
2. Bước 2: Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định. Các điểm này được gọi là các điểm tới hạn.
3. Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm f'(x) trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn.
4. Bước 4: Kết luận về tính đơn điệu của hàm số trên các khoảng đó.

Giải chi tiết từng phần

a) y = x³ - 3x² + 2 trên khoảng (-∞; 1)

Đạo hàm của hàm số là: y' = 3x² - 6x

Giải phương trình y' = 0, ta được x = 0 và x = 2. Tuy nhiên, ta chỉ xét trên khoảng (-∞; 1), nên chỉ cần quan tâm đến x = 0.

Xét dấu của y' trên khoảng (-∞; 0) và (0; 1):

• Trên khoảng (-∞; 0), y' > 0, do đó hàm số đồng biến.
• Trên khoảng (0; 1), y' < 0, do đó hàm số nghịch biến.

Vậy, hàm số y = x³ - 3x² + 2 đồng biến trên khoảng (-∞; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; 1).

b) y = x⁴ - 4x³ + 4x² + 1 trên khoảng (0; 2)

Đạo hàm của hàm số là: y' = 4x³ - 12x² + 8x = 4x(x² - 3x + 2) = 4x(x - 1)(x - 2)

Giải phương trình y' = 0, ta được x = 0, x = 1 và x = 2. Tuy nhiên, ta chỉ xét trên khoảng (0; 2), nên chỉ cần quan tâm đến x = 1.

Xét dấu của y' trên khoảng (0; 1) và (1; 2):

• Trên khoảng (0; 1), y' > 0, do đó hàm số đồng biến.
• Trên khoảng (1; 2), y' < 0, do đó hàm số nghịch biến.

Vậy, hàm số y = x⁴ - 4x³ + 4x² + 1 đồng biến trên khoảng (0; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2).

c) y = (x - 1)²(x + 2) trên khoảng (-2; 1)

Khai triển hàm số, ta được: y = (x² - 2x + 1)(x + 2) = x³ - 2x² + x + 2x² - 4x + 2 = x³ - 3x + 2

Đạo hàm của hàm số là: y' = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x - 1)(x + 1)

Giải phương trình y' = 0, ta được x = -1 và x = 1. Tuy nhiên, ta chỉ xét trên khoảng (-2; 1), nên chỉ cần quan tâm đến x = -1.

Xét dấu của y' trên khoảng (-2; -1) và (-1; 1):

• Trên khoảng (-2; -1), y' > 0, do đó hàm số đồng biến.
• Trên khoảng (-1; 1), y' < 0, do đó hàm số nghịch biến.

Vậy, hàm số y = (x - 1)²(x + 2) đồng biến trên khoảng (-2; -1) và nghịch biến trên khoảng (-1; 1).

Kết luận

Bài 4 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về tính đơn điệu của hàm số. Việc nắm vững các bước giải và áp dụng linh hoạt các kiến thức đã học sẽ giúp học sinh giải quyết bài tập một cách hiệu quả.