Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Cấp số cộng trong chương trình Toán 11 Cánh Diều tại giaibaitoan.com. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức nền tảng, công thức quan trọng và các ví dụ minh họa để bạn hiểu rõ về cấp số cộng.
Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học tập hiệu quả và thú vị, giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến cấp số cộng.
1. Định nghĩa
1. Định nghĩa
Cấp số cộng là một dãy số ,trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Tức là:
\({u_n} = {u_{n - 1}} + d,n \ge 2\)
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
* Nhận xét: Nếu \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của 2 sô hạng đứng kề nó trong dãy, tức là:
\({u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\left( {k \ge 2} \right)\)
2. Số hạng tổng quát
Nếu cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu là \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\)của nó được xác định theo công thức\({u_n} = {u_1} + (n - 1)d,n \ge 2.\)
3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)với công sai d. Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\). Khi đó
\({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\)
Cấp số cộng là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán học lớp 11. Việc nắm vững lý thuyết và các công thức liên quan đến cấp số cộng là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.
Một dãy số được gọi là cấp số cộng nếu có một số không đổi d, gọi là công sai, sao cho với mọi n ≥ 1, ta có: un+1 = un + d.
Số u1 được gọi là số hạng đầu của cấp số cộng.
Số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức:
un = u1 + (n - 1)d
Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng được tính theo công thức:
Sn = (n/2)(u1 + un) = (n/2)[2u1 + (n - 1)d]
Ví dụ 1: Cho cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 2 và công sai d = 3. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số cộng.
Giải: Áp dụng công thức un = u1 + (n - 1)d, ta có:
u5 = 2 + (5 - 1)3 = 2 + 12 = 14
Ví dụ 2: Cho cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 5 và tổng của 10 số hạng đầu tiên là S10 = 100. Tìm công sai d.
Giải: Áp dụng công thức Sn = (n/2)[2u1 + (n - 1)d], ta có:
100 = (10/2)[2(5) + (10 - 1)d]
100 = 5(10 + 9d)
20 = 10 + 9d
9d = 10
d = 10/9
Để củng cố kiến thức về cấp số cộng, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong SGK Toán 11 Cánh Diều và các nguồn tài liệu học tập khác để rèn luyện kỹ năng giải toán của mình.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về Lý thuyết Cấp số cộng - SGK Toán 11 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!
