Bài 3. Hệ trục tọa độ trong không gian

Bài 3. Hệ trục tọa độ trong không gian - SGK Toán 12

Bài 3 trong chương trình Giải Toán 12 tập 1 tập trung vào việc xây dựng và làm quen với hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz. Đây là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán về vectơ, hình học không gian và các ứng dụng thực tế.

1. Hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz

Hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz được tạo thành bởi ba trục vuông góc nhau tại gốc O: trục Ox, trục Oy và trục Oz. Mỗi điểm trong không gian được xác định duy nhất bởi bộ ba số thực (x, y, z), gọi là tọa độ của điểm đó.

2. Tọa độ của điểm và vectơ

Để xác định tọa độ của một điểm, ta chiếu điểm đó lên ba trục tọa độ và lấy giá trị của hình chiếu trên mỗi trục làm tọa độ tương ứng. Tương tự, tọa độ của một vectơ được xác định bởi hiệu tọa độ của điểm cuối và điểm đầu của vectơ.

3. Các phép toán trên vectơ trong không gian

Các phép toán cộng, trừ vectơ, nhân vectơ với một số thực và tính độ dài của vectơ đều được thực hiện tương tự như trong mặt phẳng, chỉ khác là ta phải thực hiện các phép toán trên từng tọa độ tương ứng.

4. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Tích vô hướng của hai vectơ a = (x₁, y₁, z₁) và b = (x₂, y₂, z₂) được tính theo công thức:

a.b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

Tích vô hướng có nhiều ứng dụng quan trọng, như tính góc giữa hai vectơ, kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ và tính hình chiếu của một vectơ lên một vectơ khác.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai điểm A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6). Tính độ dài đoạn thẳng AB.

Giải:

Vectơ AB = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3)

Độ dài AB = |AB| = √(3² + 3² + 3²) = √27 = 3√3

Ví dụ 2: Cho vectơ a = (1, -2, 3) và b = (2, 1, -1). Tính tích vô hướng của hai vectơ này.

Giải:

a.b = (1)(2) + (-2)(1) + (3)(-1) = 2 - 2 - 3 = -3

6. Ứng dụng của hệ trục tọa độ trong không gian

• Hình học không gian: Xác định vị trí của các điểm, đường thẳng, mặt phẳng trong không gian.
• Vật lý: Mô tả chuyển động của các vật thể trong không gian.
• Đồ họa máy tính: Tạo ra các mô hình 3D và hiển thị chúng trên màn hình.
• Kỹ thuật: Thiết kế và xây dựng các công trình trong không gian.

7. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về hệ trục tọa độ trong không gian, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và trên các trang web học toán online như giaibaitoan.com.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về Bài 3. Hệ trục tọa độ trong không gian - SGK Toán 12. Chúc các em học tập tốt!