Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 tại giaibaitoan.com. Đây là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 12, giúp bạn xây dựng nền tảng vững chắc cho các bài toán hình học không gian.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các khái niệm cơ bản, công thức quan trọng và phương pháp giải bài tập liên quan đến hệ trục tọa độ trong không gian. Hãy sẵn sàng để chinh phục những thử thách!
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
| Trong không gian, hệ ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, hay đơn giản gọi là hệ tọa độ Oxyz. |
Lưu ý:
- Điểm O được gọi là gốc tọa độ
- Ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt được gọi là trục hoành, trục tung, trục cao
- Ba mặt phẳng (Oxy), (Oxz), (Oyz) đôi một vuông góc với nhau, được gọi là các mặt phẳng tọa độ. Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz được gọi là không gian Oxyz
- Ta quy ước gọi \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) tương ứng là ba vecto đơn vị trên ba trục Ox, Oy, Oz. Từ nay trở đi, nếu không nói gì thêm thì ta hiểu Không gian Oxyz đã có bộ ba vecto đơn vị trên các trục là \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \). Vì các vecto \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên:
\({\overrightarrow i ^2} = {\overrightarrow j ^2} = {\overrightarrow k ^2} = 1\)
\(\overrightarrow i .\overrightarrow j = \overrightarrow j .\overrightarrow k = \overrightarrow k .\overrightarrow i = 0\)
2. Tọa độ của một điểm
| Trong không gian Oxyz, cho điểm M. Nếu \[\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \] thì ta gọi bộ ba số (x;y;z) là tọa độ điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz và viết M = (x;y;z) hoặc M (x;y;z); x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M. |
3. Tọa độ của vecto
Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a \). Nếu \[\overrightarrow a = {a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k \] thì ta gọi bộ ba số \(\left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) là tọa độ của \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz và viết \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) Trong không gian Oxyz, nếu \(M({x_M};{y_M};{z_M})\) và \(N({x_N};{y_N};{z_N})\) thì: \(\overrightarrow {MN} = ({x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M})\) |
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có A(1;0;2), B(3;2;5), C(7;-3;9).
Tìm tọa độ của \(\overrightarrow {AA'} \).
Tìm tọa độ của các điểm B’, C’.
Lời giải
Ta có: \(\overrightarrow {AA'} = ({x_{A'}} - {x_A};{y_{A'}} - {y_A};{z_{A'}} - {z_A}) = (4;0; - 1)\).
Gọi tọa độ của điểm B’ là (x,y,z) thì \(\overrightarrow {BB'} \) = (x-3;y-2;z-5). Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ABB’A’ là hình bình hành, suy ra \(\overrightarrow {AA'} \) = \(\overrightarrow {BB'} \).
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 4\\y - 2 = 0\\z - 5 = - 1\end{array} \right.\) hay x = 7, y = 2, z = 4. Vậy B’(7;2;4).
Lập luận tương tự suy ra C’(11;-3;8).
Hệ trục tọa độ trong không gian là một công cụ quan trọng trong hình học không gian, cho phép chúng ta biểu diễn vị trí của các điểm và vector trong không gian ba chiều. Việc nắm vững lý thuyết này là nền tảng để giải quyết các bài toán liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng và các hình khối trong không gian.
Hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian là tập hợp ba trục vuông góc với nhau tại một điểm gốc O. Trục Ox, Oy, Oz lần lượt là trục hoành, trục tung và trục cao. Mỗi điểm trong không gian có thể được xác định duy nhất bởi bộ ba số thực (x, y, z), gọi là tọa độ của điểm đó.
a. Tọa độ của điểm: Điểm M có tọa độ (x, y, z) được biểu diễn bởi M(x, y, z). x, y, z lần lượt là hoành độ, tung độ và cao độ của điểm M.
b. Tọa độ của vector: Vector a = MN có tọa độ (xN - xM, yN - yM, zN - zM).
a. Phép cộng vector: Cho a = (x1, y1, z1) và b = (x2, y2, z2). Khi đó, a + b = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2).
b. Phép nhân vector với một số thực: Cho a = (x, y, z) và k là một số thực. Khi đó, ka = (kx, ky, kz).
Tích vô hướng của hai vector a = (x1, y1, z1) và b = (x2, y2, z2) được tính bởi:
a ⋅ b = x1x2 + y1y2 + z1z2
Ứng dụng của tích vô hướng: Tính góc giữa hai vector, kiểm tra tính vuông góc của hai vector.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = 0, trong đó (A, B, C) là vector pháp tuyến của mặt phẳng.
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M0(x0, y0, z0) và có vector pháp tuyến n = (A, B, C) là: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.
Có nhiều dạng phương trình đường thẳng trong không gian, phổ biến nhất là:
Bài 1: Cho A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6). Tìm tọa độ của vector AB.
Giải:AB = (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3).
Bài 2: Tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1, 2, 3) và có vector pháp tuyến n = (1, 1, 1).
Giải: 1(x - 1) + 1(y - 2) + 1(z - 3) = 0 ⇔ x + y + z - 6 = 0.
Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về Lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán hình học không gian.
