Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 1.31 trang 45 SGK Toán 12 tập 1 tại giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12 tập 1, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Từ một miếng bìa hình chữ nhật với kích thước 20cm x 10cm, bạn Lan cắt bỏ hai hình vuông có cạnh là x (cm) và hai hình chữ nhật (phần gạch sọc Hình 1.65) rồi gấp theo đường nét đứt và dán các mép để được một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật. Tìm x để thể tích hộp là lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Đề bài
Từ một miếng bìa hình chữ nhật với kích thước 20cm x 10cm, bạn Lan cắt bỏ hai hình vuông có cạnh là x (cm) và hai hình chữ nhật (phần gạch sọc Hình 1.65) rồi gấp theo đường nét đứt và dán các mép để được một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật. Tìm x để thể tích hộp là lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xác định chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hộp sau khi cắt bỏ hình vuông và hình chữ nhật.
- Tìm công thức của hộp dựa trên các kích thước đã được xác định.
- Khảo sát hàm số thể tích để tìm giá trị lớn nhất.
Lời giải chi tiết
- Sau khi cắt bỏ và gấp lại, các phần còn lại của miếng bìa sẽ tạo thành một hình hộp chữ nhật kích thước:
Chiều dài: \(\frac{{20}}{2} - x = 10 - x\) (cm)
Chiều rộng: 10−2𝑥 (cm)
Chiều cao: 𝑥 (cm)
- Thể tích của hình hộp chữ nhật là:
\(\begin{array}{l}V = x.(10 - x).(10 - 2x)\\ = (10x - {x^2}).(10 - 2x)\\ = 2{x^3} - 30{x^2} + 100x\end{array}\)
- Đạo hàm của hàm số thể tích là: \(V'(x) = 6{x^2} - 60x + 100\)
- Giải phương trình \(V'(x) = 0\):
\(6{x^2} - 60x + 100 = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 30x + 50 = 0 \Rightarrow x = 5 \pm \frac{{5\sqrt 3 }}{5}\)
Vì miền xác định của 𝑥 là \(0 \le x \le 5\)nên chỉ nhận giá trị \(x = 5 - \frac{{5\sqrt 3 }}{5}\)
- Bảng biến thiên:
Vậy \(x = 5 - \frac{{5\sqrt 3 }}{5} \approx 2,11\) thì thể tích hình hộp là lớn nhất và có giá trị là \({V_{\max }} \approx 96.23\)cm3.
Bài tập 1.31 trang 45 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến tối ưu hóa. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Bài toán 1.31 thường liên quan đến việc tìm kích thước tối ưu của một hình chữ nhật, hình hộp chữ nhật hoặc một đối tượng hình học khác sao cho diện tích, thể tích hoặc một đại lượng nào đó đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất với một điều kiện ràng buộc nhất định.
Ví dụ, bài toán có thể yêu cầu tìm kích thước của một mảnh đất hình chữ nhật sao cho diện tích của mảnh đất là lớn nhất với một chu vi cho trước. Trong trường hợp này, chúng ta cần biểu diễn diện tích mảnh đất theo một biến số và sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất của hàm số diện tích.
Giả sử bài toán yêu cầu tìm kích thước của một hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích V cho trước sao cho diện tích bề mặt của hình hộp là nhỏ nhất.
Bước 1: Gọi x, y, z là chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hình hộp. Ta có V = xyz và diện tích bề mặt S = xy + 2xz + 2yz.
Bước 2: Biểu diễn z theo x và y: z = V/(xy).
Bước 3: Thay z vào công thức tính diện tích bề mặt: S = xy + 2x(V/(xy)) + 2y(V/(xy)) = xy + 2V/y + 2V/x.
Bước 4: Tính đạo hàm riêng của S theo x và y: ∂S/∂x = y - 2V/x2 và ∂S/∂y = x - 2V/y2.
Bước 5: Giải hệ phương trình ∂S/∂x = 0 và ∂S/∂y = 0 để tìm x và y. Từ đó, tìm z.
Bước 6: Kiểm tra điều kiện cực tiểu của S bằng cách tính đạo hàm cấp hai và kiểm tra ma trận Hessian.
Bài tập 1.31 trang 45 SGK Toán 12 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu hóa trong thực tế. Bằng cách thực hiện các bước giải một cách cẩn thận và chính xác, các em có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em sẽ hiểu rõ hơn về cách giải bài tập 1.31 trang 45 SGK Toán 12 tập 1. Chúc các em học tập tốt!
