Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết các phép toán vecto trong không gian, một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 12. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết về các khái niệm, định lý và công thức liên quan đến vecto trong không gian.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các phép toán cơ bản như cộng, trừ, nhân với một số thực, tích vô hướng, tích có hướng và ứng dụng của chúng trong việc giải quyết các bài toán hình học không gian.
1. Tổng và hiệu của hai vecto trong không gian a) Tổng của hai vecto
1. Tổng và hiệu của hai vecto trong không gian
a) Tổng của hai vecto
Trong không gian, cho hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \). Lấy một điểm A bất kì và các điểm B,C sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b \). Khi đó, vecto \(\overrightarrow {AC} \) được gọi là tổng của hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \), kí hiệu là \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \). Phép lấy tổng của hai vecto được gọi là phép cộng vecto. - Với 3 điểm A, B, C trong không gian, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) (Quy tắc 3 điểm). - Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) (Quy tắc hình bình hành). - Nếu ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \) (Quy tắc hình hộp). |
b) Hiệu của hai vecto
Trong không gian, cho hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \). Hiệu của hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \) là tổng của hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và vecto đối của \(\mathop b\limits^ \to \), kí hiệu là \(\mathop a\limits^ \to - \mathop b\limits^ \to \). Phép lấy hiệu của hai vecto được gọi là phép trừ vecto. Với ba điểm O, A, B trong không gian, ta có: \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} \) (Quy tắc hiệu). |
2. Tích của một số với một vecto trong không gian
Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vecto \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vecto, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \), được xác định như sau: - Cùng hướng với vecto \(\mathop a\limits^ \to \) nếu k > 0; ngược hướng với vecto \(\mathop a\limits^ \to \) nếu k < 0. - Có độ dài bằng \(\left| k \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|\). Phép lấy tích của một số với một vecto được gọi là phép nhân một số với một vecto. |
3. Tích vô hướng của hai vecto trong không gian
a) Góc giữa hai vecto trong không gian
| Trong không gian, cho hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \) khác \(\mathop 0\limits^ \to \). Lấy một điểm O bất kỳ và gọi A, B là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \). Khi đó, góc \(\widehat {AOB}({0^ \circ } \le \widehat {AOB} \le {180^ \circ })\) được gọi là góc giữa hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \), kí hiệu \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\). |
b) Tích vô hướng của hai vecto trong không gian
Trong không gian, cho hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \) khác \(\mathop 0\limits^ \to \). Tích vô hướng của hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \), được xác định bởi công thức \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\). |
Trong chương trình Toán 12, phần hình học không gian đóng vai trò quan trọng, và vecto trong không gian là công cụ then chốt để giải quyết các bài toán liên quan. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết các phép toán vecto trong không gian, giúp bạn nắm vững kiến thức nền tảng và áp dụng vào giải bài tập một cách hiệu quả.
Một vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Nó được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối. Vectơ được ký hiệu là AB hoặc a. Vectơ có các đặc trưng: độ dài (magnitude) và hướng.
Tích vô hướng của hai vectơ a = (x1, y1, z1) và b = (x2, y2, z2) được ký hiệu là a.b và được tính bằng công thức:
a.b = x1x2 + y1y2 + z1z2
Ứng dụng của tích vô hướng:
Tích có hướng của hai vectơ a = (x1, y1, z1) và b = (x2, y2, z2) được ký hiệu là a x b và được tính bằng công thức:
a x b = (y1z2 - z1y2, z1x2 - x1z2, x1y2 - y1x2)
Ứng dụng của tích có hướng:
Ví dụ 1: Cho a = (1, 2, 3) và b = (4, 5, 6). Tính a + b và a.b.
a + b = (1+4, 2+5, 3+6) = (5, 7, 9)
a.b = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 4 + 10 + 18 = 32
Ví dụ 2: Cho a = (1, 0, 0) và b = (0, 1, 0). Tính a x b.
a x b = (0*0 - 0*1, 0*0 - 1*0, 1*1 - 0*0) = (0, 0, 1)
Lý thuyết các phép toán vecto trong không gian là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán hình học không gian trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững các khái niệm, định lý và công thức liên quan sẽ giúp bạn tự tin hơn trong quá trình học tập và làm bài tập.
