Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân - SGK Toán 12: Tổng quan

Bài 3 trong chương trình Toán 12 tập 2, thuộc Chương 4: Nguyên hàm. Tích phân, đi sâu vào việc ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong. Đây là một ứng dụng thực tế và quan trọng của tích phân, giúp học sinh hiểu rõ hơn về ý nghĩa và sức mạnh của công cụ toán học này.

1. Phương pháp tính diện tích hình phẳng

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (với a < b), ta sử dụng công thức:

S = ∫_a^b |f(x)| dx

Trong đó:

• f(x) là hàm số xác định trên đoạn [a, b]
• ∫_a^b |f(x)| dx là tích phân xác định của hàm số |f(x)| từ a đến b

Nếu f(x) ≥ 0 trên [a, b] thì |f(x)| = f(x). Nếu f(x) < 0 trên [a, b] thì |f(x)| = -f(x).

2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = f(x) và y = g(x) trên đoạn [a, b], ta sử dụng công thức:

S = ∫_a^b |f(x) - g(x)| dx

Trong đó:

• f(x) và g(x) là các hàm số xác định trên đoạn [a, b]
• ∫_a^b |f(x) - g(x)| dx là tích phân xác định của hàm số |f(x) - g(x)| từ a đến b

Để xác định hàm số nào lớn hơn trên đoạn [a, b], ta có thể vẽ đồ thị của hai hàm số hoặc xét dấu của hiệu f(x) - g(x).

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x², trục Ox và hai đường thẳng x = -1, x = 2.

Giải:

Vì x² ≥ 0 trên đoạn [-1, 2] nên diện tích hình phẳng là:

S = ∫_-1² x² dx = [x³/3]_-1² = (8/3) - (-1/3) = 3

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x³ và đường thẳng y = x.

Giải:

Trước tiên, ta tìm giao điểm của hai đường cong:

x³ = x ⇔ x³ - x = 0 ⇔ x(x² - 1) = 0 ⇔ x = 0, x = 1, x = -1

Trên đoạn [-1, 0], x³ ≥ x. Trên đoạn [0, 1], x ≥ x³.

Vậy diện tích hình phẳng là:

S = ∫_-1⁰ (x³ - x) dx + ∫₀¹ (x - x³) dx = [x⁴/4 - x²/2]_-1⁰ + [x²/2 - x⁴/4]₀¹ = (0 - (1/4 - 1/2)) + ((1/2 - 1/4) - 0) = 1/4 + 1/4 = 1/2

4. Lưu ý quan trọng

• Luôn xác định chính xác khoảng tích phân và hàm số cần tích phân.
• Chú ý đến dấu của hàm số để đảm bảo diện tích tính được luôn dương.
• Sử dụng các tính chất của tích phân để đơn giản hóa bài toán.

5. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về ứng dụng hình học của tích phân, bạn có thể luyện tập thêm các bài tập sau:

• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x² - 4 và trục Ox.
• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = sinx và trục Ox trên đoạn [0, π].
• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = e^x, y = 0, x = 0 và x = 1.

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ minh họa trên, bạn đã hiểu rõ hơn về ứng dụng hình học của tích phân. Chúc bạn học tập tốt!