Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.22 trang 31 SGK Toán 12 tập 2 của giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập. Ngoài ra, chúng tôi còn có các bài tập tương tự để các em luyện tập và củng cố kiến thức.
Gọi \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = - {x^2} + 6x - 5\) và trục hoành. (Hình 4.28) a) Tính diện tích \(S\) của hình \((H)\). b) Từ thế kỉ thứ III trước Công nguyên, khi phép tính tích phân chưa ra đời, Archimedes đã dùng phương pháp của riêng mình và chỉ ra rằng diện tích của hình \((H)\) bằng \(\frac{4}{3}\) lần diện tích tam giác \(ABC\). Tính \(S\) theo kết quả mà Archimedes đã tìm ra và so sánh với kết quả ở câu a.
Đề bài
Gọi \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = - {x^2} + 6x - 5\) và trục hoành. (Hình 4.28)
a) Tính diện tích \(S\) của hình \((H)\).
b) Từ thế kỉ thứ III trước Công nguyên, khi phép tính tích phân chưa ra đời, Archimedes đã dùng phương pháp của riêng mình và chỉ ra rằng diện tích của hình \((H)\) bằng \(\frac{4}{3}\) lần diện tích tam giác \(ABC\). Tính \(S\) theo kết quả mà Archimedes đã tìm ra và so sánh với kết quả ở câu a.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a)
Tính diện tích hình phẳng bằng tích phân xác định của hàm \(y = f(x)\) trên đoạn từ giao điểm của parabol với trục hoành.
Bước đầu tiên là tìm nghiệm của phương trình \[y = 0\] (giao điểm với trục hoành).
Sau đó, sử dụng tích phân xác định để tính diện tích hình phẳng.
b)
Diện tích của tam giác \(ABC\) được tính theo công thức diện tích tam giác.
Sau đó, sử dụng kết quả mà Archimedes đã chỉ ra: Diện tích hình \((H)\) bằng \(\frac{4}{3}\) lần diện tích của tam giác \(ABC\)
Lời giải chi tiết
a)
- Phương trình parabol là:
\(y = - {x^2} + 6x - 5.\)
- Tìm nghiệm của phương trình \(y = 0\):
\( - {x^2} + 6x - 5 = 0\quad \Rightarrow \quad x = 1,{\mkern 1mu} x = 5.\)
- Diện tích hình phẳng \(S\) được tính bằng tích phân:
\(S = \int_1^5 {( - {x^2} + 6x - 5)} {\mkern 1mu} dx.\)
Tính tích phân:
\(S = \left[ { - \frac{{{x^3}}}{3} + 3{x^2} - 5x} \right]_1^5 = \left( { - \frac{{125}}{3} + 50} \right) - \left( { - \frac{1}{3} - 2} \right) = \frac{{32}}{3}.\)
Vậy diện tích hình phẳng \(S = \frac{{32}}{3}\).
b)
- Diện tích tam giác \(ABC\) với \(A(3,4)\), \(B(1,0)\), và \(C(5,0)\) là:
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8.\)
- Theo Archimedes, diện tích hình \((H)\) bằng \(\frac{4}{3}\) lần diện tích tam giác \(ABC\):
\(S = \frac{4}{3} \times 8 = \frac{{32}}{3}.\)
Kết quả này khớp với kết quả của câu a.
Bài tập 4.22 trang 31 SGK Toán 12 tập 2 thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để tìm cực trị của hàm số. Để giải bài tập này, các em cần thực hiện các bước sau:
Giả sử hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Ta sẽ áp dụng các bước trên để tìm cực trị của hàm số này:
| Khoảng | x < 0 | 0 < x < 2 | x > 2 |
|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + |
Ngoài bài tập 4.22, các em có thể gặp các dạng bài tập tương tự như:
Khi giải bài tập về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm, các em cần lưu ý:
Các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để học tập và ôn luyện:
Để củng cố kiến thức, các em hãy tự giải các bài tập sau:
Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
