Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 5.32 trang 77 SGK Toán 12 tập 2. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaibaitoan.com cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau đây: a) Có tâm \(I( - 4;0;5)\) và bán kính \(r = \sqrt 6 \); b) Đi qua điểm \(A(5; - 2; - 1)\) và có tâm \(C(2;1;5)\); c) Có đường kính AB với \(A( - 4;3;7)\) và \(B(2;1; - 3)\).
Đề bài
Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau đây:
a) Có tâm \(I( - 4;0;5)\) và bán kính \(r = \sqrt 6 \);
b) Đi qua điểm \(A(5; - 2; - 1)\) và có tâm \(C(2;1;5)\);
c) Có đường kính AB với \(A( - 4;3;7)\) và \(B(2;1; - 3)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
1. Phương trình mặt cầu có tâm \(I(a,b,c)\) và bán kính \(R\):
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\)
2. Xác định bán kính:
- Sử dụng độ dài bán kính \(r\) nếu đã cho.
- Nếu biết một điểm \(A({x_1},{y_1},{z_1})\) nằm trên mặt cầu và tâm \(C\), tính \(R\) bằng cách:
\(R = \sqrt {{{({x_1} - a)}^2} + {{({y_1} - b)}^2} + {{({z_1} - c)}^2}} \)
- Nếu biết đường kính AB, tính bán kính bằng cách:
\(R = \frac{1}{2} \cdot AB\)
Lời giải chi tiết
a) Tâm \(I( - 4;0;5)\) và bán kính \(r = \sqrt 6 \). Phương trình mặt cầu là:
\({(x + 4)^2} + {y^2} + {(z - 5)^2} = 6\)
b) Đi qua điểm \(A(5; - 2; - 1)\) và có tâm \(C(2;1;5)\). - Tính bán kính \(R = CA\):
\(R = \sqrt {{{(5 - 2)}^2} + {{( - 2 - 1)}^2} + {{( - 1 - 5)}^2}} = \sqrt {{3^2} + {{( - 3)}^2} + {{( - 6)}^2}} = \sqrt {9 + 9 + 36} = \sqrt {54} = 3\sqrt 6 \)
- Phương trình mặt cầu là:
\({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 5)^2} = 54\)
c) Có đường kính AB với \(A( - 4;3;7)\) và \(B(2;1; - 3)\).
- Tọa độ tâm \(I\) là trung điểm của AB:
\(I = \left( {\frac{{ - 4 + 2}}{2},\frac{{3 + 1}}{2},\frac{{7 - 3}}{2}} \right) = ( - 1,2,2)\)
- Bán kính \(R = \frac{1}{2}AB\):
\(AB = \sqrt {{{(2 + 4)}^2} + {{(1 - 3)}^2} + {{( - 3 - 7)}^2}} = \sqrt {{6^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 10)}^2}} = \sqrt {36 + 4 + 100} = \sqrt {140} = 2\sqrt {35} \)
\(R = \frac{{2\sqrt {35} }}{2} = \sqrt {35} \)
- Phương trình mặt cầu là:
\({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 2)^2} = 35\)
Bài tập 5.32 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để tìm cực trị và khảo sát hàm số. Đây là một dạng bài tập quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x-1)(x+2)(x-3). Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào?
Để hàm số y = f(x) đồng biến trên một khoảng, đạo hàm f'(x) phải lớn hơn 0 trên khoảng đó. Do đó, ta cần giải bất phương trình f'(x) > 0.
Ta có f'(x) = (x-1)(x+2)(x-3). Để giải bất phương trình f'(x) > 0, ta xét dấu của f'(x) trên trục số:
Vậy, hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng (-2; 1) và (3; +∞).
Khi giải các bài toán về đạo hàm, cần chú ý các điểm sau:
Xét hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Ta có y' = 3x2 - 6x = 3x(x-2). Giải bất phương trình y' > 0, ta được x < 0 hoặc x > 2. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞).
Bài tập 5.32 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập điển hình về ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số. Việc nắm vững phương pháp giải bài tập này sẽ giúp các em tự tin hơn trong việc giải các bài toán tương tự và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
| Khoảng | x < -2 | -2 < x < 1 | 1 < x < 3 | x > 3 |
|---|---|---|---|---|
| Dấu của f'(x) | - | + | - | + |
Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý quan trọng trên, các em học sinh đã hiểu rõ cách giải bài tập 5.32 trang 77 SGK Toán 12 tập 2. Chúc các em học tập tốt!
