Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 2.12 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 của giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Hãy cùng bắt đầu với lời giải chi tiết của bài tập này nhé!
Người ta treo một vật trang trí (O) có khối lượng (m = 2{mkern 1mu} {rm{kg}}) trên trần nhà bằng các sợi dây nhẹ, không co giãn tại các điểm (A), (B) và (C). Để bảo đảm lực phân phối đều trên các dây và tính thẩm mỹ, người ta chọn độ dài các dây sao cho tứ diện OABC là tứ diện đều. Gọi (overrightarrow {{T_1}} ), (overrightarrow {{T_2}} ) và (overrightarrow {{T_3}} ) lần lượt là các lực căng dây của ba dây treo tại (A), (B) và (C). Lấy giá trị gần đúng của gia tốc trọng
Đề bài
Người ta treo một vật trang trí \(O\) có khối lượng \(m = 2{\mkern 1mu} {\rm{kg}}\) trên trần nhà bằng các sợi dây nhẹ, không co giãn tại các điểm \(A\), \(B\) và \(C\). Để bảo đảm lực phân phối đều trên các dây và tính thẩm mỹ, người ta chọn độ dài các dây sao cho tứ diện OABC là tứ diện đều. Gọi \(\overrightarrow {{T_1}} \), \(\overrightarrow {{T_2}} \) và \(\overrightarrow {{T_3}} \) lần lượt là các lực căng dây của ba dây treo tại \(A\), \(B\) và \(C\). Lấy giá trị gần đúng của gia tốc trọng trường \(g\) là \(10{\mkern 1mu} {\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}\).
a) Tính cường độ của hợp lực.
b) Tính cường độ của lực căng trên mỗi dây.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Do hệ cân bằng, hợp lực của ba lực căng \(\overrightarrow {{T_1}} \), \(\overrightarrow {{T_2}} \) và \(\overrightarrow {{T_3}} \) phải bằng với trọng lực của vật \(O\).
- Đặt T là cường độ của lực căng trên mỗi dây, tính hợp lực giữa \(\overrightarrow {{T_1}} \) và \(\overrightarrow {{T_2}} \), sau đó là tổng hợp lực giữa \(\overrightarrow {{T_{12}}} \) và \(\overrightarrow {{T_3}} \). Tìm mối liên hệ giữa T và P để tìm T.
Lời giải chi tiết
a) Hệ lực đang cân bằng, ta có: \(\overrightarrow {{T_1}} + \overrightarrow {{T_2}} + \overrightarrow {{T_3}} + \vec P = \overrightarrow 0 \).
Do đó, cường độ của hợp lực bằng 0.
b) Trọng lực tác dụng lên vật O: \( P = m \cdot g = 2 \cdot 10 = 20{\mkern 1mu} {\rm{N}}\).
Giả sử các lực căng dây có độ lớn bằng nhau \(T = |\overrightarrow {{T_1}} | = |\overrightarrow {{T_2}} | = |\overrightarrow {{T_3}} |\), ta có: \({T_{12}} = \sqrt {2{T^2} + 2.{T^2}.\cos 60^\circ } = T\sqrt 3 \) (\(\left( {\overrightarrow {{T_1}} ,\overrightarrow {{T_2}} } \right) = 60^\circ \) vì các mặt bên là tam giác đều)
\({T_{hl}} = \sqrt {{T_{12}}^2 + {T_3}^2 + 2.{T_{12}}.{T_3}.\cos \alpha } = \sqrt {3{T^2} + {T^2} + 2.\sqrt 3 T.T.\frac{{\sqrt 3 }}{3}} = T\sqrt 6 \) (giá của \(\overrightarrow {{T_{12}}} \) chính là đường trung tuyến của tam giác chứa \({T_1},{T_2}\). Áp dụng định lý Cosin vào tam giác có chứa giá của \(\overrightarrow {{T_{12}}} \), \(\overrightarrow {{T_3}} \) và đường trung tuyến của tam giác đáy để tìm góc giữa \(\overrightarrow {{T_{12}}} \)\(\overrightarrow {{T_3}} \)).
Mà: \({T_{hl}} = P = 20\).
Suy ra: \(T = \frac{{20}}{{\sqrt 6 }} \approx 8,16\).
Vậy cường độ của lực căng trên mỗi dây là \(8,16{\rm{N}}\).
Bài tập 2.12 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, điều kiện cực trị và cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Hãy khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị.
Bước 1: Tính đạo hàm cấp một
y' = 3x2 - 6x
Bước 2: Tìm các điểm làm đạo hàm cấp một bằng 0
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
=> x = 0 hoặc x = 2
Bước 3: Lập bảng biến thiên
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | NB | ĐB | NB |
(NB: Đồng biến, ĐB: Nghịch biến)
Bước 4: Kết luận
Để hiểu sâu hơn về phương pháp khảo sát hàm số và tìm cực trị, các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 1 và các tài liệu ôn thi THPT Quốc gia. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách giải bài tập 2.12 trang 65 SGK Toán 12 tập 1. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!
