Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 5.14 trang 53 SGK Toán 12 tập 2. Bài tập này thuộc chương trình học về tích phân và thường gây khó khăn cho nhiều học sinh.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, cùng với các phương pháp giải khác nhau để giúp các em hiểu sâu sắc kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Người ta thiết kế một mái che hình chữ nhật ABCD phía trên sân khấu. a) Với hệ trục Oxyz (đơn vị trên trục là mét) và các kích thước được cho như Hình 5.16, hãy viết phương trình mặt phẳng chứa mái che. b) Một cổng chào hình chữ nhật EFHG cao 4 m dựng vuông góc với mặt đất. Người ta muốn làm các đoạn dây nối thanh ngang GE với mái che để gắn hoa và đèn led. Tính độ dài ngắn nhất của mỗi đoạn dây này.
Đề bài
Người ta thiết kế một mái che hình chữ nhật ABCD phía trên sân khấu.
a) Với hệ trục Oxyz (đơn vị trên trục là mét) và các kích thước được cho như Hình 5.16, hãy viết phương trình mặt phẳng chứa mái che.
b) Một cổng chào hình chữ nhật EFHG cao 4 m dựng vuông góc với mặt đất. Người ta muốn làm các đoạn dây nối thanh ngang GE với mái che để gắn hoa và đèn led. Tính độ dài ngắn nhất của mỗi đoạn dây này.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Xác định tọa độ các điểm A, B, C, D của mái che. Sử dụng 3 điểm để viết phương trình mặt phẳng chứa mái che. Tìm hai vectơ chỉ phương và tính tích có hướng để xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Dùng vectơ pháp tuyến viết phương trình mặt phẳng.
b) Tìm tọa độ các điểm G, E. Tính khoảng cách từ điểm G hoặc E đến mặt phẳng chứa mái che. Sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng để tính độ dài ngắn nhất của đoạn dây.
Lời giải chi tiết
a)
Giả sử tọa độ các điểm của mái che là:
\(A(0;0;8),\quad B(0;20;8),\quad C(15;20;14),\quad D(15;0;14).\)
Các điểm này nằm trên mặt phẳng chứa mái che. Tính hai vectơ chỉ phương:
\(\overrightarrow {AB} = (0;20;0),\quad \overrightarrow {AC} = (15;20;6).\)
Tích có hướng của hai vectơ:
\(\vec n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = (120;0; - 300).\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là \(\vec n = (120;0; - 300)\). Phương trình mặt phẳng có dạng:
\(120(x - 0) + 0y - 300(z - 8) = 0\quad \Rightarrow \quad 120x - 300z + 2400 = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,2x - 5z + 40 = 0\)
Vậy phương trình mặt phẳng chứa mái che là \(\,2x - 5z + 40 = 0\).
b)
Giả sử tọa độ các điểm \(G(0;0;4)\).
Khoảng cách từ điểm \(G(0;0;4)\) đến mặt phẳng \((ABCD)\) chính là độ dài ngắn nhất của đoạn dây nối từ thanh ngang GE với mái che được tính bằng công thức:
\(d = \frac{{|2.0 - 5.4 + 40|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 5)}^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {29} }}\)
Vậy độ dài ngắn nhất của mỗi đoạn dây là \(\frac{{20}}{{\sqrt {29} }}\) mét.
Bài tập 5.14 trang 53 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu tính tích phân xác định của một hàm số. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về nguyên hàm, tích phân và các phương pháp tính tích phân cơ bản.
(Đề bài cụ thể của bài tập 5.14 sẽ được chèn vào đây)
Để giải bài tập tích phân xác định, chúng ta thường sử dụng các phương pháp sau:
(Lời giải chi tiết, từng bước của bài tập 5.14 sẽ được trình bày ở đây. Bao gồm các bước tìm nguyên hàm, áp dụng công thức và tính toán kết quả.)
Ví dụ:
Giả sử bài tập 5.14 là ∫01 x2 dx
Để củng cố kiến thức về tích phân xác định, các em có thể tham khảo và giải các bài tập tương tự sau:
Khi giải bài tập tích phân xác định, các em cần lưu ý những điều sau:
Bài tập 5.14 trang 53 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu sâu hơn về tích phân xác định. Hy vọng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải được trình bày ở trên, các em sẽ tự tin giải bài tập này và các bài tập tương tự một cách hiệu quả.
Chúc các em học tập tốt!
