Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 4.41 trang 38 SGK Toán 12 tập 2 tại giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc \(v\) (km/h) phụ thuộc vào thời gian \(t\) (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh \(I(2;9)\) và trục đối xứng song song với trục tung như Hình 4.30. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó. A. \(25,25{\mkern 1mu} {\rm{km}}\) B. \(24,25{\mkern 1mu} {\rm{km}}\) C. \(24,75{\mkern 1mu} {\rm{km}}\) D. \(26,75{\mkern 1mu} {\rm{km}}\)
Đề bài
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc \(v\) (km/h) phụ thuộc vào thời gian \(t\) (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh \(I(2;9)\) và trục đối xứng song song với trục tung như Hình 4.30. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.
A. \(25,25{\mkern 1mu} {\rm{km}}\)
B. \(24,25{\mkern 1mu} {\rm{km}}\)
C. \(24,75{\mkern 1mu} {\rm{km}}\)
D. \(26,75{\mkern 1mu} {\rm{km}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Quãng đường mà vật di chuyển được tính bằng tích phân của vận tốc theo thời gian:
\(S = \int_0^3 v (t){\mkern 1mu} dt\)
- Hàm \(v(t)\) là một phần của parabol, có đỉnh \(I(2;9)\) và trục đối xứng song song với trục tung. Từ đó, ta cần tìm phương trình của \(v(t)\) và tính tích phân trên đoạn từ \(0\) đến \(3\).
Lời giải chi tiết
Ta biết rằng đồ thị \(v(t)\) có dạng một parabol với đỉnh \(I(2;9)\), vậy phương trình của parabol có dạng:
\(v(t) = a{(t - 2)^2} + 9\)
Dựa vào điểm \((0,6)\) trên đồ thị (vận tốc tại thời điểm \(t = 0\)), ta thay vào phương trình để tìm \(a\):
\(6 = a{(0 - 2)^2} + 9\)
\(6 = 4a + 9 \Rightarrow 4a = - 3 \Rightarrow a = - \frac{3}{4}\)
Vậy phương trình của vận tốc là:
\(v(t) = - \frac{3}{4}{(t - 2)^2} + 9\)
Bây giờ, ta tính quãng đường \(S\) bằng cách lấy tích phân:
\(S = \int_0^3 {\left( { - \frac{3}{4}{{(t - 2)}^2} + 9} \right)} dt = \int_0^3 - \frac{3}{4}{(t - 2)^2}{\mkern 1mu} dt + \int_0^3 9 {\mkern 1mu} dt\)
Tính tích phân của \(9\):
\(\int_0^3 9 {\mkern 1mu} dt = 9t|_0^3 = 9(3 - 0) = 27\)
Tính tích phân của \( - \frac{3}{4}{(t - 2)^2}\): Sử dụng biến đổi \(u = t - 2\), tích phân trở thành:
\(\int_0^3 - \frac{3}{4}{(t - 2)^2}{\mkern 1mu} dt = \int_{ - 2}^1 - \frac{3}{4}{u^2}{\mkern 1mu} du\)
Tính tích phân của \({u^2}\):
\(\int_{ - 2}^1 - \frac{3}{4}{u^2}{\mkern 1mu} du = - \frac{3}{4} \cdot \frac{{{u^3}}}{3}|_{ - 2}^1 = - \frac{1}{4}\left( {{1^3} - {{( - 2)}^3}} \right) = - \frac{1}{4}(1 + 8) = - \frac{9}{4}\)
Vậy quãng đường \(S\) là:
\(S = 27 - \frac{9}{4} = \frac{{108}}{4} - \frac{9}{4} = \frac{{99}}{4} = 24,75{\mkern 1mu} {\rm{km}}\)
Chọn C.
Bài tập 4.41 trang 38 SGK Toán 12 tập 2 là một bài toán điển hình trong chương trình học về đạo hàm của hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm:
Trước khi đi vào giải bài toán cụ thể, chúng ta cần phân tích đề bài để xác định rõ yêu cầu và các dữ kiện đã cho. Bài toán 4.41 thường yêu cầu chúng ta:
Để minh họa, giả sử bài toán 4.41 có nội dung như sau:
Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số
y' = 3x2 - 6x
Bước 2: Tìm các điểm làm đạo hàm bằng 0
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Suy ra x = 0 hoặc x = 2
Bước 3: Xét dấu đạo hàm để xác định các điểm cực trị
Ta có bảng xét dấu:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | NB | ĐC | TC |
(NB: Nghịch biến, ĐC: Điểm cực đại, TC: Điểm cực tiểu)
Bước 4: Kết luận
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y = 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y = -2.
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về đạo hàm, các em có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
Để giải bài tập về đạo hàm một cách hiệu quả, các em nên:
Bài tập 4.41 trang 38 SGK Toán 12 tập 2 là một bài toán quan trọng trong chương trình học về đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, các em sẽ hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập. Chúc các em học tập tốt!
