Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.29 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 của giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành: \(y = \sqrt x - 2\), \(y = 0\), \(x = 4\), \(x = 9\).
Đề bài
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành: \(y = \sqrt x - 2\), \(y = 0\), \(x = 4\), \(x = 9\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Thể tích của một khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi \(y = f(x)\) quanh trục hoành trên đoạn \([a,b]\) được tính bằng công thức:
\(V = \pi \int_a^b {{{\left[ {f(x)} \right]}^2}dx} \).
Lời giải chi tiết
Thể tích \(V\) được tính bằng:
\({\rm{V = }}\pi \int_4^9 {{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}} dx = \pi \int_4^9 {(x - 4\sqrt x + 4)} {\mkern 1mu} dx\)
Tính nguyên hàm:
\(\int x {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^2}}}{2},\quad \int 4 \sqrt x {\mkern 1mu} dx = \frac{{8{x^{3/2}}}}{3},\quad \int 4 {\mkern 1mu} dx = 4x\)
Thay vào:
\(V = \pi \left[ {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{8{x^{3/2}}}}{3} + 4x} \right]_4^9 = \pi \left( {\frac{{27}}{6} - \frac{{16}}{6}} \right) = \pi \left( {\frac{{11}}{6}} \right)\)
Vậy thể tích khối tròn xoay là:
\(V = \frac{{11\pi }}{6}\).
Bài tập 4.29 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến. Cụ thể, đề bài thường cho một hàm số bậc ba hoặc bậc bốn và yêu cầu phân tích các đặc điểm của hàm số đó.
Giả sử bài tập 4.29 là: Khảo sát hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có tập xác định là D = ℝ.
y' = 3x2 - 6x
Giải phương trình y' = 0: 3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
Xét dấu y':
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0, ycđ = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, yct = -2.
y'' = 6x - 6
Giải phương trình y'' = 0: 6x - 6 = 0 ⇔ x = 1.
Xét dấu y'':
Vậy hàm số có điểm uốn tại x = 1, yu = 0.
| x | -∞ | 0 | 1 | 2 | +∞ | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y' | + | 0 | - | 0 | + | |
| y | ↗ | 2 | ↘ | 0 | ↘ | ↗ |
Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 đồng biến trên khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2). Hàm số đạt cực đại tại x = 0, ycđ = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, yct = -2. Hàm số có điểm uốn tại x = 1, yu = 0.
Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về phương pháp giải bài tập khảo sát hàm số và tự tin làm bài tập 4.29 trang 36 SGK Toán 12 tập 2.
