Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cùng bạn khám phá và giải quyết các bài tập trong mục 3 của SGK Toán 12 tập 1, trang 19, 20 và 21.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp bạn nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong môn Toán.
Trong Hình 1.21, đường cong là đồ thị ( C ) của hàm số (y = f(x) = x + frac{x}{{{x^2} - 1}}) và đường thẳng (Delta :y = x) . Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc ( C ) và(Delta ) có cùng hoành độ x, với x > 1 hoặc x < -1. Nhận xét về độ dài của đoạn MN khi(x to - infty ) và (x to + infty )
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 20 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Sử dụng ghi chú ở trên, tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{{ - {x^2} - 3x - 3}}{{x + 1}}\).
Phương pháp giải:
Phân tích hàm số rồi áp dụng ghi chú: hàm số \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}\) (\(a \ne 0,m \ne 0\) đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu) luôn được viết dưới dạng \(y = px + q + \frac{r}{{mx + n}}\)\((p,q,r \in R)\).Khi đó đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng \(x = - \frac{n}{m}\)là và đường tiệm cận xiên là \(y = px + q.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(y = f(x) = \frac{{ - {x^2} - 3x - 3}}{{x + 1}}\)\( = - x - 2 - \frac{1}{{x + 1}}.\)
Áp dụng ghi chú hàm số \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}\) (\(a \ne 0,m \ne 0\) đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu) luôn được viết dưới dạng \(y = px + q + \frac{r}{{mx + n}}\)\((p,q,r \in R)\).Khi đó đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là \(y = px + q\), khi đó đường tiệm cận xiên của hàm số là \(y = - x - 2.\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 20 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong phần Khởi động đầu bài, tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(m(v) = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\), từ đó nhận xét khối lượng của vật khi vận tốc của nó càng gần vận tốc ánh sáng.
Phương pháp giải:
Tìm giới hạn của khối lượng m(v) khi vận tốc v tiến gần đến tốc độ ánh sáng c.
Lời giải chi tiết:
Xét \(m(v) = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{N}\backslash \{ c\} \).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{v \to {c^ + }} m(v) = \mathop {\lim }\limits_{v \to {c^ + }} \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{v \to {c^ + }} \frac{{\frac{{{m_0}}}{v}}}{{\sqrt {\frac{1}{{{v^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}} }} = \frac{{\frac{{{m_0}}}{c}}}{{\sqrt {\frac{1}{{{c^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}} }} = + \infty .\)
\(\mathop {\lim }\limits_{v \to c - } m(v) = \mathop {\lim }\limits_{v \to {c^ - }} \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{v \to c - } \frac{{\frac{{{m_0}}}{v}}}{{\sqrt {\frac{1}{{{v^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}} }} = \frac{{\frac{{{m_0}}}{c}}}{{\sqrt {\frac{1}{{{c^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}} }} = + \infty .\)
Vậy đường thẳng x = c là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Khi vận tốc của vật tiến dần đến tốc độ ánh sáng, khối lượng của vật càng lớn.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 19 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong Hình 1.21, đường cong là đồ thị ( C ) của hàm số \(y = f(x) = x + \frac{x}{{{x^2} - 1}}\) và đường thẳng \(\Delta :y = x\) . Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc ( C ) và\(\Delta \) có cùng hoành độ x, với x > 1 hoặc x < -1. Nhận xét về độ dài của đoạn MN khi\(x \to - \infty \) và \(x \to + \infty .\)
Phương pháp giải:
Nhìn vào đồ thị rồi nhận xét.
Lời giải chi tiết:
Khi \(x \to - \infty \) và \(x \to + \infty \) thì độ dài MN càng ngắn.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 21 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một ống khói của nhà máy điện hạt nhân có mặt cắt là một hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{{27}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{40}^2}}} = 1\) (Hình 1.25). Hét hai nhánh bên trên Ox của (H) là đồ thị (C) của hàm số \(y = \frac{{40}}{{27}}\sqrt {{x^2} - {{27}^2}} \) (phần nét liền đậm). Chứng minh rằng đường thẳng \(y = \frac{{40}}{{27}}x\) là một đường tiệm cận của (C). Hãy chỉ ra them một đường tiệm cận xiên khác của (C).
Phương pháp giải:
Chứng minh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{40}}{{27}}\sqrt {{x^2} - {{27}^2}} - \frac{{40}}{{27}}x} \right) = 0\).
Lời giải chi tiết:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{40}}{{27}}\sqrt {{x^2} - {{27}^2}} - \frac{{40}}{{27}}x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{40}}{{27}}\left( {\sqrt {{x^2} - {{27}^2}} - x} \right)} \right] = \frac{{40}}{{27}}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - {{27}^2}} - x} \right)\)
\( = \frac{{40}}{{27}}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{40}}{{27}}.\frac{{{x^2} - {{27}^2} - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - {{27}^2}} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{40}}{{27}}.\left( {\frac{{ - {{27}^2}}}{{\sqrt {{x^2} - {{27}^2}} + x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 40.27}}{{\sqrt {{x^2} - {{27}^2}} + x}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 40.27}}{{x\sqrt {1 - \frac{{{{27}^2}}}{{{x^2}}}} + x}} = 0.\)
Vậy \(y = \frac{{40}}{{27}}x\) là tiệm cận xiên của (C).
Tương tự, một tiệm cận xiên khác của (C) là \(y = - \frac{{40}}{{27}}x\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 19 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong Hình 1.21, đường cong là đồ thị ( C ) của hàm số \(y = f(x) = x + \frac{x}{{{x^2} - 1}}\) và đường thẳng \(\Delta :y = x\) . Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc ( C ) và\(\Delta \) có cùng hoành độ x, với x > 1 hoặc x < -1. Nhận xét về độ dài của đoạn MN khi\(x \to - \infty \) và \(x \to + \infty .\)
Phương pháp giải:
Nhìn vào đồ thị rồi nhận xét.
Lời giải chi tiết:
Khi \(x \to - \infty \) và \(x \to + \infty \) thì độ dài MN càng ngắn.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 20 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Sử dụng ghi chú ở trên, tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{{ - {x^2} - 3x - 3}}{{x + 1}}\).
Phương pháp giải:
Phân tích hàm số rồi áp dụng ghi chú: hàm số \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}\) (\(a \ne 0,m \ne 0\) đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu) luôn được viết dưới dạng \(y = px + q + \frac{r}{{mx + n}}\)\((p,q,r \in R)\).Khi đó đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng \(x = - \frac{n}{m}\)là và đường tiệm cận xiên là \(y = px + q.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(y = f(x) = \frac{{ - {x^2} - 3x - 3}}{{x + 1}}\)\( = - x - 2 - \frac{1}{{x + 1}}.\)
Áp dụng ghi chú hàm số \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}\) (\(a \ne 0,m \ne 0\) đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu) luôn được viết dưới dạng \(y = px + q + \frac{r}{{mx + n}}\)\((p,q,r \in R)\).Khi đó đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là \(y = px + q\), khi đó đường tiệm cận xiên của hàm số là \(y = - x - 2.\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 20 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong phần Khởi động đầu bài, tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(m(v) = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\), từ đó nhận xét khối lượng của vật khi vận tốc của nó càng gần vận tốc ánh sáng.
Phương pháp giải:
Tìm giới hạn của khối lượng m(v) khi vận tốc v tiến gần đến tốc độ ánh sáng c.
Lời giải chi tiết:
Xét \(m(v) = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{N}\backslash \{ c\} \).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{v \to {c^ + }} m(v) = \mathop {\lim }\limits_{v \to {c^ + }} \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{v \to {c^ + }} \frac{{\frac{{{m_0}}}{v}}}{{\sqrt {\frac{1}{{{v^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}} }} = \frac{{\frac{{{m_0}}}{c}}}{{\sqrt {\frac{1}{{{c^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}} }} = + \infty .\)
\(\mathop {\lim }\limits_{v \to c - } m(v) = \mathop {\lim }\limits_{v \to {c^ - }} \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{v \to c - } \frac{{\frac{{{m_0}}}{v}}}{{\sqrt {\frac{1}{{{v^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}} }} = \frac{{\frac{{{m_0}}}{c}}}{{\sqrt {\frac{1}{{{c^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}} }} = + \infty .\)
Vậy đường thẳng x = c là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Khi vận tốc của vật tiến dần đến tốc độ ánh sáng, khối lượng của vật càng lớn.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 21 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một ống khói của nhà máy điện hạt nhân có mặt cắt là một hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{{27}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{40}^2}}} = 1\) (Hình 1.25). Hét hai nhánh bên trên Ox của (H) là đồ thị (C) của hàm số \(y = \frac{{40}}{{27}}\sqrt {{x^2} - {{27}^2}} \) (phần nét liền đậm). Chứng minh rằng đường thẳng \(y = \frac{{40}}{{27}}x\) là một đường tiệm cận của (C). Hãy chỉ ra them một đường tiệm cận xiên khác của (C).
Phương pháp giải:
Chứng minh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{40}}{{27}}\sqrt {{x^2} - {{27}^2}} - \frac{{40}}{{27}}x} \right) = 0\).
Lời giải chi tiết:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{40}}{{27}}\sqrt {{x^2} - {{27}^2}} - \frac{{40}}{{27}}x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{40}}{{27}}\left( {\sqrt {{x^2} - {{27}^2}} - x} \right)} \right] = \frac{{40}}{{27}}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - {{27}^2}} - x} \right)\)
\( = \frac{{40}}{{27}}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{40}}{{27}}.\frac{{{x^2} - {{27}^2} - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - {{27}^2}} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{40}}{{27}}.\left( {\frac{{ - {{27}^2}}}{{\sqrt {{x^2} - {{27}^2}} + x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 40.27}}{{\sqrt {{x^2} - {{27}^2}} + x}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 40.27}}{{x\sqrt {1 - \frac{{{{27}^2}}}{{{x^2}}}} + x}} = 0.\)
Vậy \(y = \frac{{40}}{{27}}x\) là tiệm cận xiên của (C).
Tương tự, một tiệm cận xiên khác của (C) là \(y = - \frac{{40}}{{27}}x\).
Mục 3 của SGK Toán 12 tập 1 tập trung vào việc giải các phương trình lượng giác cơ bản. Đây là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các công thức lượng giác, các phương pháp giải phương trình và khả năng vận dụng linh hoạt vào các bài tập cụ thể.
Mục 3 bao gồm các nội dung chính sau:
Để giải một phương trình lượng giác cơ bản, bạn có thể thực hiện theo các bước sau:
Bài 1: Giải phương trình sin(x) = 1/2
Lời giải:
Phương trình sin(x) = 1/2 có nghiệm đặc biệt x = π/6 và x = 5π/6.
Nghiệm tổng quát của phương trình là:
x = π/6 + k2π
x = 5π/6 + k2π (k ∈ Z)
Bài 2: Giải phương trình cos(x) = -√3/2
Lời giải:
Phương trình cos(x) = -√3/2 có nghiệm đặc biệt x = 5π/6 và x = 7π/6.
Nghiệm tổng quát của phương trình là:
x = 5π/6 + k2π
x = 7π/6 + k2π (k ∈ Z)
Bài 3: Giải phương trình tan(x) = 1
Lời giải:
Phương trình tan(x) = 1 có nghiệm đặc biệt x = π/4.
Nghiệm tổng quát của phương trình là:
x = π/4 + kπ (k ∈ Z)
Khi giải phương trình lượng giác, bạn cần lưu ý các điểm sau:
Phương trình lượng giác cơ bản có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải các phương trình lượng giác cơ bản trong Mục 3 của SGK Toán 12 tập 1. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại liên hệ với chúng tôi tại giaibaitoan.com. Chúng tôi luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn trên con đường chinh phục môn Toán.
