Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 5.37 trang 84 SGK Toán 12 tập 2. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaibaitoan.com cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho mặt phẳng (\(\alpha \)): 2x − y + 2z + 11 = 0 và điểm M(1; −1; 2). a) Viết phương trình mặt phẳng (\(\beta \)) chứa điểm M và song song với (\(\alpha \)). b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (\(\alpha \)).
Đề bài
Cho mặt phẳng (\(\alpha \)): 2x − y + 2z + 11 = 0 và điểm M(1; −1; 2).
a) Viết phương trình mặt phẳng (\(\beta \)) chứa điểm M và song song với (\(\alpha \)).
b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (\(\alpha \)).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Mặt phẳng \((\beta )\) song song với \((\alpha )\) nên sẽ có cùng vectơ pháp tuyến với \((\alpha )\).
b) Khoảng cách từ một điểm \(M({x_0},{y_0},{z_0})\) đến mặt phẳng có phương trình \(ax + by + cz + d = 0\) được tính bằng công thức:
\(d = \frac{{|a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
Lời giải chi tiết
a)
Mặt phẳng \((\alpha ):2x - y + 2z + 11 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (2, - 1,2)\).
Vì mặt phẳng \((\beta )\) song song với \((\alpha )\), nên nó cũng có cùng vectơ pháp tuyến \(\vec n = (2, - 1,2)\). Do đó, phương trình của mặt phẳng \((\beta )\) có dạng:
\(2x - y + 2z + D = 0\)
trong đó D là hằng số cần tìm. Vì \((\beta )\) chứa điểm \(M(1; - 1;2)\), ta thay tọa độ của M vào phương trình của \((\beta )\):
\(2 \cdot 1 - ( - 1) + 2 \cdot 2 + D = 0\)
\(2 + 1 + 4 + D = 0\)
\(7 + D = 0 \Rightarrow D = - 7\)
Vậy phương trình của mặt phẳng \((\beta )\) là:
\(2x - y + 2z - 7 = 0\)
b)
Khoảng cách từ điểm \(M(1; - 1;2)\) đến mặt phẳng \((\alpha ):2x - y + 2z + 11 = 0\) được tính bằng công thức:
\(d = \frac{{|2 \cdot 1 - ( - 1) + 2 \cdot 2 + 11|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} }}\) \(2 \cdot 1 + 1 + 2 \cdot 2 + 11 = 2 + 1 + 4 + 11 = 18\)
\(\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} = \sqrt {4 + 1 + 4} = \sqrt 9 = 3\)
Vậy khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng \((\alpha )\) là:
\(d = \frac{{18}}{3} = 6\)
Bài tập 5.37 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để tìm cực trị và khảo sát hàm số. Đây là một dạng bài tập quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia.
Cho hàm số y = f(x) = x3 - 3x2 + 2. Hãy:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 là hàm đa thức nên tập xác định của hàm số là D = ℝ.
Bước 2: Tính đạo hàm bậc nhất
y' = f'(x) = 3x2 - 6x
Bước 3: Tìm các điểm cực trị
Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình y' = 0:
3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0
Vậy, phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 2.
Bước 4: Xác định loại cực trị
Ta xét dấu của y' trên các khoảng xác định:
Vậy, hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2.
Bước 5: Tính giá trị cực đại và cực tiểu
f(0) = 03 - 3(0)2 + 2 = 2
f(2) = 23 - 3(2)2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2
Vậy, hàm số đạt cực đại tại điểm (0; 2) và cực tiểu tại điểm (2; -2).
Giới hạn vô cùng:
limx→+∞ (x3 - 3x2 + 2) = +∞
limx→-∞ (x3 - 3x2 + 2) = -∞
Bảng biến thiên:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ | |
|---|---|---|---|---|---|
| y' | + | 0 | - | 0 | + |
| y | -∞ | 2 | -2 | +∞ |
Đồ thị:
Đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2 là một đường cong đi qua các điểm (0; 2) và (2; -2). Đồ thị có tính đối xứng qua điểm uốn.
Bài tập 5.37 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 đã giúp chúng ta củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Việc nắm vững phương pháp giải các bài tập này là rất quan trọng để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về bài tập và tự tin hơn trong quá trình học tập. Chúc các em học tốt!
