Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá và giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 68, 69 của Sách Giáo Khoa Toán 12 tập 2.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp bạn nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong môn Toán.
Cho đường thẳng d có vector chỉ phương (vec a) và mặt phẳng ((alpha )) có vector pháp tuyến (vec n). Gọi d' là hình chiếu của d trên ((alpha )). Gọi (phi ) là góc giữa d và ((alpha )), còn (phi ') là góc giữa (vec a) và (vec n).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 69 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = - 3 + 2t\;\\y = 1 + t\quad (t \in \mathbb{R})\;\\z = 2 + t\end{array}\end{array}} \right.\)và các mặt phẳng tọa độ: \((Oxy)\), \((Oxz)\), \((Oyz)\).
Phương pháp giải:
- Xác định vectơ chỉ phương \({\vec v_d} = (x',y',z')\) từ phương trình tham số của đường thẳng.
- Tùy vào mặt phẳng nào (Oxy, Oxz, Oyz), tìm vectơ pháp tuyến tương ứng của nó. - Sử dụng công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
\(\sin \theta = \frac{{|{{\vec v}_d} \cdot \vec n|}}{{|{{\vec v}_d}||\vec n|}}\)
với \({\vec v_d}\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng, và \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \({\vec v_d} = (2,1,1)\).
Vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng:
- Oxy: \({\vec n_{Oxy}} = (0,0,1)\)
- Oxz: \({\vec n_{Oxz}} = (0,1,0)\)
- Oyz: \({\vec n_{Oyz}} = (1,0,0)\)
Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và các mặt phẳng:
- Với mặt phẳng Oxy:
\(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (0,0,1)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{|1|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)
Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).
- Với mặt phẳng Oxz:
\(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (0,1,0)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{|1|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)
Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).
- Với mặt phẳng Oyz:
\(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (1,0,0)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{|2|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\)
Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho đường thẳng d có vector chỉ phương \(\vec a\) và mặt phẳng \((\alpha )\) có vector pháp tuyến \(\vec n\). Gọi d' là hình chiếu của d trên \((\alpha )\). Gọi \(\phi \) là góc giữa d và \((\alpha )\), còn \(\phi '\) là góc giữa \(\vec a\) và \(\vec n\).
Phương pháp giải:
Áp dụng các tính chất:
- φ và φ' là hai góc phụ nhau (φ + φ' = 90°).
- Sử dụng công thức lượng giác của góc phụ nhau.
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn là góc nhọn.
Lời giải chi tiết:
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng \((\alpha )\) là hai góc phụ nhau.
\(\varphi + \varphi ' = 90^\circ \) (góc phụ)
Vì vậy:
\(\cos \varphi = \cos (90^\circ - \varphi ') = \sin \varphi '\)
\(\sin \varphi = \sin (90^\circ - \varphi ') = \cos \varphi '\)
Do đó:
\(\cos \varphi = \cos \varphi '\) là SAI
\(\sin \varphi = \left| {\cos \varphi '} \right|\) là ĐÚNG
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 69 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = - 3 + 2t\;\\y = 1 + t\quad (t \in \mathbb{R})\;\\z = 2 + t\end{array}\end{array}} \right.\)và các mặt phẳng tọa độ: \((Oxy)\), \((Oxz)\), \((Oyz)\).
Phương pháp giải:
- Xác định vectơ chỉ phương \({\vec v_d} = (x',y',z')\) từ phương trình tham số của đường thẳng.
- Tùy vào mặt phẳng nào (Oxy, Oxz, Oyz), tìm vectơ pháp tuyến tương ứng của nó. - Sử dụng công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
\(\sin \theta = \frac{{|{{\vec v}_d} \cdot \vec n|}}{{|{{\vec v}_d}||\vec n|}}\)
với \({\vec v_d}\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng, và \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \({\vec v_d} = (2,1,1)\).
Vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng:
- Oxy: \({\vec n_{Oxy}} = (0,0,1)\)
- Oxz: \({\vec n_{Oxz}} = (0,1,0)\)
- Oyz: \({\vec n_{Oyz}} = (1,0,0)\)
Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và các mặt phẳng:
- Với mặt phẳng Oxy:
\(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (0,0,1)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{|1|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)
Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).
- Với mặt phẳng Oxz:
\(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (0,1,0)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{|1|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)
Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).
- Với mặt phẳng Oyz:
\(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (1,0,0)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{|2|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\)
Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho đường thẳng d có vector chỉ phương \(\vec a\) và mặt phẳng \((\alpha )\) có vector pháp tuyến \(\vec n\). Gọi d' là hình chiếu của d trên \((\alpha )\). Gọi \(\phi \) là góc giữa d và \((\alpha )\), còn \(\phi '\) là góc giữa \(\vec a\) và \(\vec n\).
Phương pháp giải:
Áp dụng các tính chất:
- φ và φ' là hai góc phụ nhau (φ + φ' = 90°).
- Sử dụng công thức lượng giác của góc phụ nhau.
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn là góc nhọn.
Lời giải chi tiết:
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng \((\alpha )\) là hai góc phụ nhau.
\(\varphi + \varphi ' = 90^\circ \) (góc phụ)
Vì vậy:
\(\cos \varphi = \cos (90^\circ - \varphi ') = \sin \varphi '\)
\(\sin \varphi = \sin (90^\circ - \varphi ') = \cos \varphi '\)
Do đó:
\(\cos \varphi = \cos \varphi '\) là SAI
\(\sin \varphi = \left| {\cos \varphi '} \right|\) là ĐÚNG
Mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình học. Để giải quyết hiệu quả các bài tập trong mục này, học sinh cần nắm vững lý thuyết, công thức và phương pháp giải liên quan. Bài viết này sẽ cung cấp hướng dẫn chi tiết, từng bước giải cho từng bài tập, giúp bạn hiểu rõ bản chất và cách tiếp cận vấn đề.
Bài 1 thường là bài tập áp dụng trực tiếp kiến thức lý thuyết đã học. Để giải bài này, bạn cần:
Ví dụ, nếu bài tập yêu cầu tính đạo hàm của một hàm số, bạn cần sử dụng các quy tắc đạo hàm đã học để tìm ra kết quả.
Bài 2 có thể là bài tập nâng cao hơn, đòi hỏi bạn phải vận dụng kiến thức một cách linh hoạt và sáng tạo. Để giải bài này, bạn cần:
Ví dụ, nếu bài tập yêu cầu tìm cực trị của một hàm số, bạn cần tìm điểm dừng và xét dấu đạo hàm bậc hai để xác định loại cực trị.
Bài 3 thường là bài tập ứng dụng thực tế, giúp bạn hiểu rõ hơn về tầm quan trọng của Toán học trong cuộc sống. Để giải bài này, bạn cần:
Ví dụ, nếu bài tập yêu cầu tính diện tích của một mảnh đất hình chữ nhật, bạn cần sử dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật để tìm ra kết quả.
Để đạt được hiệu quả cao nhất khi giải bài tập Toán 12, bạn cần lưu ý những điều sau:
Ngoài SGK Toán 12 tập 2, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để nâng cao kiến thức và kỹ năng giải toán:
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2 một cách hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt và đạt được kết quả cao trong môn Toán!
