Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 6.5 trang 96 SGK Toán 12 tập 2 của giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học về Nguyên hàm tích phân và ứng dụng trong Toán 12.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Hãy cùng nhau khám phá và chinh phục bài toán này nhé!
Trong một lọ có chứa bi đen và bi trắng cùng kích thước và khối lượng, lấy ngẫu nhiên lần lượt hai viên bi ra ngoài và không bỏ vào lại. Biết rằng xác suất để lần đầu lấy được bi đen là 0,47; xác suất để lần đầu lấy được bi đen và lần thứ hai lấy được bi trắng là 0,34. Tính xác suất để lấy được bi trắng ở lần thứ hai với điều kiện lần đầu lấy được bi đen.
Đề bài
Trong một lọ có chứa bi đen và bi trắng cùng kích thước và khối lượng, lấy ngẫu nhiên lần lượt hai viên bi ra ngoài và không bỏ vào lại. Biết rằng xác suất để lần đầu lấy được bi đen là 0,47; xác suất để lần đầu lấy được bi đen và lần thứ hai lấy được bi trắng là 0,34. Tính xác suất để lấy được bi trắng ở lần thứ hai với điều kiện lần đầu lấy được bi đen.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi A là biến cố "lần đầu lấy được bi đen".
Gọi B là biến cố "lần thứ hai lấy được bi trắng".
Cần tính xác suất lấy được bi trắng ở lần thứ hai với điều kiện lần đầu lấy được bi đen, tức là \(P(B|A)\).
Sử dụng công thức xác suất có điều kiện: \(P(B|A) = \frac{{P(AB)}}{{P(A)}}\).
Lời giải chi tiết
- Xác suất lần đầu lấy được bi đen: \(P(A) = 0,47\).
- Xác suất lần đầu lấy được bi đen và lần thứ hai lấy được bi trắng: \(P(AB) = 0,34\).
Áp dụng công thức xác suất có điều kiện: \(P(B|A) = \frac{{P(AB)}}{{P(A)}}\).
Thay số: \(P(B|A) = \frac{{0.34}}{{0.47}} \approx 0,723\).
Xác suất lấy được bi trắng ở lần thứ hai với điều kiện lần đầu lấy được bi đen là:
\(P(B|A) \approx 0,723({\rm{72,3}}\% )\).
Bài tập 6.5 trang 96 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu tính các tích phân sau:
∫(x+1)ex dx
∫x sin(2x) dx
∫x cos(x) dx
∫ex sin(x) dx
Để giải các tích phân này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần, dựa trên công thức:
∫u dv = uv - ∫v du
Trong đó, u và v là các hàm số thích hợp được chọn sao cho tích phân ∫v du dễ dàng tính toán hơn.
Đặt:
Suy ra:
Áp dụng công thức tích phân từng phần:
∫(x+1)ex dx = (x+1)ex - ∫ex dx = (x+1)ex - ex + C = xex + C
Đặt:
Suy ra:
Áp dụng công thức tích phân từng phần:
∫x sin(2x) dx = -1/2 x cos(2x) - ∫(-1/2 cos(2x)) dx = -1/2 x cos(2x) + 1/2 ∫cos(2x) dx = -1/2 x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C
Đặt:
Suy ra:
Áp dụng công thức tích phân từng phần:
∫x cos(x) dx = x sin(x) - ∫sin(x) dx = x sin(x) + cos(x) + C
Bài toán này cần tích phân từng phần hai lần.
Lần 1: Đặt u = sin(x), dv = ex dx. Suy ra du = cos(x) dx, v = ex.
∫ex sin(x) dx = ex sin(x) - ∫ex cos(x) dx
Lần 2: Đặt u = cos(x), dv = ex dx. Suy ra du = -sin(x) dx, v = ex.
∫ex cos(x) dx = ex cos(x) - ∫ex (-sin(x)) dx = ex cos(x) + ∫ex sin(x) dx
Thay vào biểu thức ban đầu:
∫ex sin(x) dx = ex sin(x) - (ex cos(x) + ∫ex sin(x) dx)
2∫ex sin(x) dx = ex sin(x) - ex cos(x)
∫ex sin(x) dx = 1/2 (ex sin(x) - ex cos(x)) + C
Qua việc giải chi tiết bài tập 6.5 trang 96 SGK Toán 12 tập 2, chúng ta đã củng cố kiến thức về phương pháp tích phân từng phần và ứng dụng của nó trong việc tính tích phân của các hàm số phức tạp. Hy vọng rằng, với lời giải này, các em học sinh có thể tự tin hơn trong việc giải các bài tập tương tự.
Giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán!
