Bài viết này cung cấp lý thuyết đầy đủ và chi tiết về Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, dành cho học sinh lớp 12. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu định nghĩa, công thức tính toán và các ví dụ minh họa để nắm vững kiến thức này.
Nội dung được trình bày một cách dễ hiểu, giúp các em học sinh có thể tự học và ôn tập hiệu quả. Giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán.
1. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm a) Định nghĩa
1. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm
a) Định nghĩa
Khoảng biến thiên, kí hiệu R, của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu. \(R = {u_{k + 1}} - {u_1}\) |
b) Ý nghĩa
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc và có thể dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
c) Nhận xét
Khoảng biến thiên là một đại lượng dễ tính toán. Tuy nhiên do chỉ sử dụng đầu mút trái của nhóm đầu tiên và đầu mút phải của nhóm cuối cùng, bỏ qua thông tin về tất cả các giá trị ở giữa, nên khoảng biến thiên rất dễ bị biến thiên bởi những giá trị bất thường. Khi điều này xảy ra, khoảng biến thiên mang lại một bức tranh “phóng đại” về sự phân tán của mẫu số liệu. Nếu loại những giá trị bất thường này thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu còn lại có thể sẽ nhỏ hơn nhiều.
2. Khoảng tứ phân vị
a) Định nghĩa
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({\Delta _Q}\), là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\) |
b) Ý nghĩa
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và là một đại lượng cho biết mức độ phân tán của nửa giữa mẫu số liệu. Khoảng tứ phân vị càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
c) Nhận xét
Khoảng tứ phân vị cho thông tin về sự biến thiên của 50% số liệu nằm giữa mẫu. Khác với khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường (nếu có). Hơn nữa, khoảng tứ phân vị cần thiết cho việc so sánh mức độ phân tán của hai mẫu số liệu có kích thước không quá khác nhau và có khoảng biến thiên như nhau.
Trong chương trình Toán 12, thống kê là một phần quan trọng, giúp học sinh hiểu và phân tích dữ liệu. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị là hai đại lượng thống kê cơ bản, được sử dụng để đo lường mức độ phân tán của một mẫu số liệu. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về lý thuyết, công thức và cách tính toán hai đại lượng này đối với mẫu số liệu ghép nhóm.
Khoảng biến thiên của một mẫu số liệu là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu. Nó cho biết phạm vi mà các giá trị dữ liệu trải rộng.
Công thức:
R = Xmax - Xmin
Trong đó:
Ví dụ: Cho mẫu số liệu: 10, 12, 15, 18, 20. Khoảng biến thiên của mẫu là: 20 - 10 = 10.
Khoảng tứ phân vị là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba (Q3) và tứ phân vị thứ nhất (Q1). Nó đo lường khoảng cách giữa 25% giá trị nhỏ nhất và 25% giá trị lớn nhất trong mẫu, loại bỏ ảnh hưởng của các giá trị ngoại lệ.
Công thức:
IQR = Q3 - Q1
Để tính khoảng tứ phân vị, trước tiên ta cần tìm Q1 và Q3.
Khi làm việc với mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta không có giá trị cụ thể của từng phần tử mà chỉ có các khoảng giá trị và tần số tương ứng. Do đó, việc tính toán khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị sẽ phức tạp hơn.
a. Khoảng biến thiên cho mẫu số liệu ghép nhóm:
Khoảng biến thiên được tính bằng hiệu giữa cận trên của khoảng chứa giá trị lớn nhất và cận dưới của khoảng chứa giá trị nhỏ nhất.
b. Khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu ghép nhóm:
Để tính Q1 và Q3 cho mẫu số liệu ghép nhóm, ta sử dụng công thức sau:
Qi = Li + (N/4 - cfi-1) * w
Trong đó:
Cho bảng tần số sau:
| Khoảng giá trị | Tần số (f) | Tần số tích lũy (cf) |
|---|---|---|
| [0 - 10) | 5 | 5 |
| [10 - 20) | 10 | 15 |
| [20 - 30) | 15 | 30 |
| [30 - 40) | 8 | 38 |
| [40 - 50) | 2 | 40 |
Tổng tần số N = 40.
Tính Q1:
Vị trí của Q1 là N/4 = 40/4 = 10. Khoảng chứa Q1 là [10 - 20) (vì cf0 = 5 < 10 ≤ cf1 = 15).
Q1 = 10 + (10 - 5) * 10 = 60. (Lưu ý: đây là một ví dụ, kết quả có thể cần điều chỉnh tùy thuộc vào cách xác định cận dưới và khoảng lớp)
Tính Q3:
Vị trí của Q3 là 3N/4 = 3 * 40 / 4 = 30. Khoảng chứa Q3 là [20 - 30) (vì cf1 = 15 < 30 ≤ cf2 = 30).
Q3 = 20 + (30 - 15) * 10 = 170. (Lưu ý: đây là một ví dụ, kết quả có thể cần điều chỉnh tùy thuộc vào cách xác định cận dưới và khoảng lớp)
Tính IQR:
IQR = Q3 - Q1 = 170 - 60 = 110.
Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm Toán 12. Chúc các bạn học tập tốt!
