Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 5.27 trang 71 SGK Toán 12 tập 2. Bài tập này thuộc chương trình học về tích phân và thường gây khó khăn cho nhiều học sinh.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, cùng với các phương pháp giải khác nhau để giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Tính góc giữa các cặp mặt phẳng a) \(\alpha :3x + 4y + 5z - 1 = 0\) và \(\beta :2x + y + z - 3 = 0\) b) \(\alpha :x - y + 2z - 1 = 0\) và \(\beta :x + 2y - z + 3 = 0\) c) \(\alpha :x + 3y - 2z - 1 = 0\) và \(\beta :4x + 2y + 5z - 3 = 0\)
Đề bài
Tính góc giữa các cặp mặt phẳng
a) \(\alpha :3x + 4y + 5z - 1 = 0\) và \(\beta :2x + y + z - 3 = 0\)
b) \(\alpha :x - y + 2z - 1 = 0\) và \(\beta :x + 2y - z + 3 = 0\)
c) \(\alpha :x + 3y - 2z - 1 = 0\) và \(\beta :4x + 2y + 5z - 3 = 0\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) lần lượt có các vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (A;B;C)\) và \(\vec n' = (A';B';C')\). Khi đó:
\(\cos \left( {(\alpha ),(\beta )} \right) = \left| {\frac{{\vec n \cdot \vec n'}}{{\left| {\vec n} \right| \cdot \left| {\vec n'} \right|}}} \right| = \frac{{|AA' + BB' + CC'|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \cdot \sqrt {{{A'}^2} + {{B'}^2} + {{C'}^2}} }}\)
Lời giải chi tiết
a)
- Vector pháp tuyến của \(\alpha \): \(\overrightarrow {{n_1}} = (3;4;5)\)
- Vector pháp tuyến của \(\beta \): \(\overrightarrow {{n_2}} = (2;1;1)\)
\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 3 \times 2 + 4 \times 1 + 5 \times 1 = 15\)
\(|\overrightarrow {{n_1}} | = \sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} = \sqrt {50} ,\quad |\overrightarrow {{n_2}} | = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 6 \)
\(\cos \theta = \frac{{15}}{{\sqrt {50} \times \sqrt 6 }} = \frac{{15}}{{\sqrt {300} }} = \frac{{15}}{{10\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\quad \Rightarrow \quad \theta = {30^\circ }\)
b)
- Vector pháp tuyến của \(\alpha \): \(\overrightarrow {{n_1}} = (1; - 1;2)\)
- Vector pháp tuyến của \(\beta \): \(\overrightarrow {{n_2}} = (1;2; - 1)\)
\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 1 \times 1 + ( - 1) \times 2 + 2 \times ( - 1) = - 3\)
\(|\overrightarrow {{n_1}} | = \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} = \sqrt 6 ,\quad |\overrightarrow {{n_2}} | = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} = \sqrt 6 \)
\(\cos \theta = \frac{3}{{\sqrt 6 \times \sqrt 6 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta \approx 60^\circ \)
c)
- Vector pháp tuyến của \(\alpha \): \(\overrightarrow {{n_1}} = (1;3; - 2)\)
- Vector pháp tuyến của \(\beta \): \(\overrightarrow {{n_2}} = (4;2;5)\)
\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 1 \times 4 + 3 \times 2 + ( - 2) \times 5 = 0\)
Vì \(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 0\) nên hai vectơ pháp tuyến vuông góc với nhau, hay hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
Bài tập 5.27 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 là một bài toán quan trọng trong chương trình tích phân, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức về nguyên hàm, tích phân xác định và các phương pháp tính tích phân. Bài toán này thường xuất hiện trong các đề thi và kiểm tra, do đó việc hiểu rõ cách giải là rất cần thiết.
(Nội dung đề bài sẽ được chèn vào đây - ví dụ: Tính tích phân I = ∫(x^2 + 1)dx từ 0 đến 1)
Để giải bài tập này, chúng ta cần áp dụng các bước sau:
(Lời giải chi tiết sẽ được trình bày ở đây, bao gồm các bước tính toán cụ thể, giải thích rõ ràng và các lưu ý quan trọng. Ví dụ:)
Nguyên hàm của x^2 + 1 là F(x) = (x^3)/3 + x.
Vậy, ∫(x^2 + 1)dx từ 0 đến 1 = F(1) - F(0) = (1^3)/3 + 1 - ((0^3)/3 + 0) = 1/3 + 1 = 4/3.
Ngoài bài tập 5.27, còn rất nhiều bài tập tích phân khác có dạng tương tự. Để giải các bài tập này, chúng ta có thể áp dụng các phương pháp sau:
(Ví dụ về một bài tập tương tự và lời giải chi tiết)
Bài tập 5.27 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 là một bài toán quan trọng trong chương trình tích phân. Việc hiểu rõ phương pháp giải và luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em tự tin giải các bài tập tương tự và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Hy vọng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải được trình bày ở trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài tập này và có thể áp dụng vào giải các bài tập khác. Chúc các em học tập tốt!
