Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 1.40 trang 47 SGK Toán 12 tập 1 tại giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học môn Toán lớp 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Kính viễn vọng Hubble được tàu không gian Discovery đưa vào sử dụng ngày 24/4/1990. Mô hình vận tốc của tàu trong sứ mệnh này, từ lúc rời bệ phóng (t=0 giây) cho đến khi được tên lửa đẩy nhanh khỏi bệ tại thời điểm t = 126 giây, được xác định bởi công thức: \(v(t) = 0,001302{t^3} - 0,09029{t^2} + 23,61t - 3,083{\rm{ (feet/gi\^a y) }}\) (Nguồn: James Stewart, J. (2015). Calculus. Cengage Learning 8th edition, p. 282). Tính gia tốc lớn nhất và gia tốc nhỏ nhất của tàu trong khoảng thời gian này
Đề bài
Kính viễn vọng Hubble được tàu không gian Discovery đưa vào sử dụng ngày 24/4/1990. Mô hình vận tốc của tàu trong sứ mệnh này, từ lúc rời bệ phóng (t=0 giây) cho đến khi được tên lửa đẩy nhanh khỏi bệ tại thời điểm t = 126 giây, được xác định bởi công thức:
\(v(t) = 0,001302{t^3} - 0,09029{t^2} + 23,61t - 3,083{\rm{ (feet/giây) }}\)
(Nguồn: James Stewart, J. (2015). Calculus. Cengage Learning 8th edition, p. 282). Tính gia tốc lớn nhất và gia tốc nhỏ nhất của tàu trong khoảng thời gian này (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính gia tốc từ vận tốc: Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian. a(t)=v′(t).
Tìm các giá trị cực đại và cực tiểu của gia tốc:
- Để tìm các giá trị cực đại và cực tiểu của gia tốc, chúng ta cần tính đạo hàm cấp hai của vận tốc, rồi tìm nghiệm của phương trình này.
- Kiểm tra các điểm cực trị và biên (từ t=0 đến t=126) để xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của gia tốc.
Lời giải chi tiết
Ta có hàm vận tốc \(v(t)\) :\(v(t) = 0,001302{t^3} - 0,09029{t^2} + 23,61t - 3,083\)
Đạo hàm của \(v(t)\) là: \(a(t) = {v^\prime }(t) = \frac{d}{{dt}}\left[ {0,001302{t^3} - 0,09029{t^2} + 23,61t - 3,083} \right]\)
Áp dụng quy tắc đạo hàm:
\(\begin{array}{l}a(t) = 3.0,001302{t^2} - 2.0,09029t + 23,61\\a(t) = 0,003906{t^2} - 0,18058t + 23,61\end{array}\)
Đạo hàm của \(a(t)\) là:
\(\begin{array}{l}{a^\prime }(t) = \frac{d}{{dt}}\left[ {0,003906{t^2} - 0,18058t + 23,61} \right]\\{a^\prime }(t) = 2 \cdot 0,003906t - 0,18058\\{a^\prime }(t) = 0,007812t - 0,18058\end{array}\)
Giải phương trình \({a^\prime }(t) = 0\):
\(\begin{array}{l}0,007812t - 0,18058 = 0\\0,007812t = 0,18058\\t = \frac{{0,18058}}{{0,007812}}\\t \approx 23,11\end{array}\)
Ta có \(t \approx 23,11\). Chúng ta sẽ kiểm tra giá trị của gia tốc tại các thời điểm \(t = 0,t = 23,11\) và \(t = 126\).
Tại \(t = 0\):
\(a(0) = 0,003906 \cdot {0^2} - 0,18058 \cdot 0 + 23,61 = 23,61\)
Tại \(t = 23,11\):
\(a(23,11) = 0,003906 \cdot {(23,11)^2} - 0,18058 \cdot 23,11 + 23,61 \approx 21,52\)
Tại \(t = 126\):
\(a(126) = 0,003906 \cdot {(126)^2} - 0,18058 \cdot 126 + 23,61 \approx 62,92\)
Kết luận:
Gia tốc lớn nhất: \( \approx 62,92\) feet / giây \(^2\) (tại \(t = 126\) giây).
Gia tốc nhỏ nhất: \( \approx 21,52\) feet/giây \(^2\) (tại \(t \approx 23,11\) giây)
Bài tập 1.40 trang 47 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số bậc ba. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Để minh họa, chúng ta sẽ xét một ví dụ cụ thể. Giả sử hàm số cần khảo sát là: f(x) = x3 - 3x2 + 2.
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Đạo hàm là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải các bài tập liên quan đến khảo sát hàm số. Nó cho phép chúng ta xác định các khoảng đơn điệu, cực trị, và vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm là rất quan trọng để đạt kết quả tốt trong môn Toán 12.
Để hiểu sâu hơn về ứng dụng của đạo hàm, các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Ngoài ra, việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài tập 1.40 trang 47 SGK Toán 12 tập 1. Chúc các em học tập tốt!
