Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 5.31 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 tại giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về số phức và các phép toán liên quan.
Chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây: a) \({x^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 2)^2} = 1\) b) \({(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {z^2} = 4\) c) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x - 2y + 1 = 0\) d) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\)
Đề bài
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:
a) \({x^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 2)^2} = 1\)
b) \({(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {z^2} = 4\)
c) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x - 2y + 1 = 0\)
d) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương trình của mặt cầu có tâm \(I(a,b,c)\) và bán kính \(R\) có dạng:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\)
- Nếu phương trình đã ở dạng chuẩn, xác định \(a\), \(b\), \(c\) và \(R\) từ phương trình.
- Nếu phương trình chưa chuẩn, đưa về dạng chuẩn bằng cách hoàn phương cho các biến \(x\), \(y\), \(z\).
Lời giải chi tiết
a) \({x^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 2)^2} = 1\)
Từ phương trình, ta có:
- Tâm \(I(0,3, - 2)\)
- Bán kính \(R = \sqrt 1 = 1\)
b) \({(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {z^2} = 4\)
Từ phương trình, ta có:
- Tâm \(I(2,3,0)\)
- Bán kính \(R = \sqrt 4 = 2\)
c) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x - 2y + 1 = 0\)
Ta có: \(({x^2} - 8x) + ({y^2} - 2y) + {z^2} = - 1\)
- \(x\): \({x^2} - 8x = {(x - 4)^2} - 16\)
- \(y\): \({y^2} - 2y = {(y - 1)^2} - 1\)
- Phương trình trở thành:
\({(x - 4)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 16 + 1 - 1 = 16\)
- Tâm \(I(4,1,0)\)
- Bán kính \(R = \sqrt {16} = 4\)
d) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\)
Chia cả hai vế cho 3: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + \frac{8}{3}y + 5z = 1\)
- \(x\): \({x^2} - 2x = {(x - 1)^2} - 1\)
-\(y\): \({y^2} + \frac{8}{3}y = {\left( {y + \frac{4}{3}} \right)^2} - \frac{{16}}{9}\)
- \(z\): \({z^2} + 5z = {\left( {z + \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{{25}}{4}\)
- Phương trình trở thành:
\({(x - 1)^2} + {\left( {y + \frac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{5}{2}} \right)^2} = 1 + 1 + \frac{{16}}{9} + \frac{{25}}{4} = \frac{{79}}{{36}}\)
- Tâm \(I\left( {1, - \frac{4}{3}, - \frac{5}{2}} \right)\)
- Bán kính \(R = \sqrt {\frac{{79}}{{36}}} = \frac{{\sqrt {79} }}{6}\)
Bài tập 5.31 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta tìm số phức z thỏa mãn một điều kiện nhất định. Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về số phức, bao gồm:
Trước khi đi vào lời giải chi tiết, chúng ta cần phân tích bài toán để xác định rõ yêu cầu và phương pháp giải phù hợp. Thông thường, các bài toán về số phức thường yêu cầu chúng ta:
Để giải bài tập 5.31 trang 77 SGK Toán 12 tập 2, chúng ta thực hiện theo các bước sau:
(Ở đây sẽ là lời giải cụ thể của bài tập 5.31, bao gồm các bước biến đổi và kết quả cuối cùng. Ví dụ minh họa, giả sử bài toán yêu cầu tìm z sao cho |z - 1| = 2:
Đặt z = a + bi, với a, b là các số thực. Khi đó:
|z - 1| = |(a + bi) - 1| = |(a - 1) + bi| = √((a - 1)² + b²) = 2
Bình phương hai vế, ta được: (a - 1)² + b² = 4
Đây là phương trình của một đường tròn trên mặt phẳng phức với tâm I(1, 0) và bán kính R = 2. Vậy, tập hợp các số phức z thỏa mãn điều kiện đề bài là đường tròn này.
Để củng cố kiến thức về số phức, các em có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
Ngoài ra, các em có thể tìm hiểu thêm về các ứng dụng của số phức trong các lĩnh vực khác nhau, như điện tử, vật lý, và kỹ thuật.
Bài tập 5.31 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu sâu hơn về số phức và các phép toán liên quan. Hy vọng rằng, với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, các em có thể tự tin giải quyết bài toán này và các bài tập tương tự một cách hiệu quả.
| Khái niệm | Giải thích |
|---|---|
| Số phức | Biểu thức có dạng a + bi, với a, b là số thực và i là đơn vị ảo (i² = -1) |
| Module của số phức | Khoảng cách từ điểm biểu diễn số phức đến gốc tọa độ |
| Số phức liên hợp | Đổi dấu phần ảo của số phức |
