Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.24 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 của giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành: a) \(y = \sqrt {2 + \cos x} \), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = \frac{\pi }{2}\). b) \(y = {x^2} - 3x\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 3\).
Đề bài
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành:
a) \(y = \sqrt {2 + \cos x} \), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = \frac{\pi }{2}\).
b) \(y = {x^2} - 3x\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 3\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Thể tích khối tròn xoay quanh trục hoành được tính bởi công thức:
\(V = \pi \int_a^b {{y^2}} {\mkern 1mu} dx.\)
Lời giải chi tiết
a) Với \(y = \sqrt {2 + \cos x} \), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = \frac{\pi }{2}\), ta có:
- Thể tích khối tròn xoay là:
\(V = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{(\sqrt {2 + \cos x} )}^2}} {\mkern 1mu} dx = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2 + \cos x} \right)} {\mkern 1mu} dx\)
- Tính tích phân:
\(V = \pi \left[ {\int_0^{\frac{\pi }{2}} 2 {\mkern 1mu} dx + \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos } x{\mkern 1mu} dx} \right] = \pi \left[ {\left. {2x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}} \right] = \pi \left( {\pi + 1} \right) = {\pi ^2} + \pi \)
- Vậy thể tích khối tròn xoay là:
\(V = {\pi ^2} + \pi \)
b) Với \(y = {x^2} - 3x\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 3\), ta có:
- Thể tích khối tròn xoay là:
\(V = \pi \int_0^3 {{{({x^2} - 3x)}^2}} {\mkern 1mu} dx.\)
- Khai triển biểu thức:
\({({x^2} - 3x)^2} = {x^4} - 6{x^3} + 9{x^2}.\)
- Tính tích phân:
\(V = \pi \left[ {\int_0^3 {{x^4}} {\mkern 1mu} dx - 6\int_0^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx + 9\int_0^3 {{x^2}} {\mkern 1mu} dx} \right].\)
- Các tích phân lần lượt là:
\(\int_0^3 {{x^4}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^5}}}{5} = \frac{{243}}{5},\)
\(\int_0^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^4}}}{4} = \frac{{81}}{4},\)
\(\int_0^3 {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^3}}}{3} = 9.\)
- Vậy thể tích khối tròn xoay là:
\(V = \pi \left( {\frac{{243}}{5} - 6 \times \frac{{81}}{4} + 9 \times 9} \right) = \pi \left( {\frac{{243}}{5} - \frac{{486}}{4} + 81} \right) = \frac{{81}}{{10}}\pi \).
Bài tập 4.24 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
Để minh họa, chúng ta sẽ cùng nhau giải bài tập 4.24 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 với hàm số cụ thể. (Giả sử hàm số là y = x^3 - 3x^2 + 2)
Đạo hàm là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải các bài tập liên quan đến khảo sát hàm số. Nó giúp chúng ta:
Để nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm, các em nên:
Bài tập 4.24 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập điển hình về khảo sát hàm số bằng đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải trên, các em đã hiểu rõ phương pháp giải bài tập này và có thể tự tin áp dụng vào các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!
