Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 5.25 trang 70 SGK Toán 12 tập 2 tại giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về số phức và các phép toán liên quan.
Chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: a) (d:left{ {begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}{y = - 1 + t,,,,,,,,,,t in mathbb{R}}{z = 3 + 4t}end{array}} right.quad {rm{v`a }}quad d':left{ {begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t'}{y = - 1 + 3t',,,,,t', in mathbb{R}}{z = 4 + 2t'}end{array}} right.) b) (d:frac{x}{1} = frac{y}{2} = frac{{z - 2}}{2}quad {rm{v`a }}quad d':left{ {begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + t'}{y = - 1 + t',,,,,t', in mathb
Đề bài
Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 1 + t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,t \in \mathbb{R}}\\{z = 3 + 4t}\end{array}} \right.\quad {\rm{và}}\quad d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t'}\\{y = - 1 + 3t'\,\,\,\,\,t'\, \in \mathbb{R}}\\{z = 4 + 2t'}\end{array}} \right.\)
b) \(d:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{2}\quad {\rm{và }}\quad d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + t'}\\{y = - 1 + t'\,\,\,\,\,t'\, \in \mathbb{R}}\\{z = 1}\end{array}} \right.\).
c) \(d:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{6}\quad {\rm{và }}\quad d':\frac{x}{{12}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{3}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Đối với phương trình tham số \(d:x = {x_0} + at,y = {y_0} + bt,z = {z_0} + ct\), vector chỉ phương của đường thẳng là \(\vec u = (a,b,c)\).
- Đối với phương trình chính tắc \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\), vector chỉ phương của đường thẳng cũng là \(\vec u = (a,b,c)\).
- Góc giữa hai đường thẳng có vector chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = ({a_1},{b_1},{c_1})\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = ({a_2},{b_2},{c_2})\) được tính bởi:
\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} }}{{|\overrightarrow {{u_1}} ||\overrightarrow {{u_2}} |}}\)
Lời giải chi tiết
a)
Vector chỉ phương của \(d\): \(\vec u = (2;1;4)\).
Vector chỉ phương của\(d'\): \(\vec u' = ( - 1;3;2)\). Tích vô hướng:
\(\vec u \cdot \vec u' = 2 \times ( - 1) + 1 \times 3 + 4 \times 2 = - 2 + 3 + 8 = 9\)
Độ dài:
\(|\vec u| = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {4^2}} = \sqrt {21} ,\quad |\vec u'| = \sqrt {{1^2} + {3^2} + {2^2}} = \sqrt {14} \)
\(\cos \theta = \frac{9}{{\sqrt {21} \times \sqrt {14} }} = \frac{9}{{\sqrt {294} }} = \frac{{3\sqrt 6 }}{{14}}\)
Suy ra \(\theta = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{3\sqrt 6 }}{{14}}} \right) \approx 58^\circ \).
b)
Vector chỉ phương của \(d\): \(\vec u = (1;2;2)\).
Vector chỉ phương của\(d'\): \(\vec u' = (1;1;0)\).
Tích vô hướng của hai vector chỉ phương:
\(\vec u \cdot \vec u' = 1 \times 1 + 2 \times 1 + 2 \times 0 = 1 + 2 + 0 = 3\)
Độ dài của \(\vec u\) và \(\vec u'\):
\(|\vec u| = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} = \sqrt 9 = 3\)
\(|\vec u'| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 2 \)
Góc giữa hai đường thẳng:
\(\cos \theta = \frac{{\vec u \cdot \vec u'}}{{|\vec u||\vec u'|}} = \frac{3}{{3 \times \sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Suy ra:
\(\theta = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 45^\circ \)
c)
Vector chỉ phương của \(d\): \(\vec u = ( - 2;3;6)\).
Vector chỉ phương của \(d'\): \(\vec u' = (12,2,3)\).
Tích vô hướng của hai vector chỉ phương:
\(\vec u \cdot \vec u' = ( - 2) \times 12 + 3 \times 2 + 6 \times 3 = - 24 + 6 + 18 = 0\)
Vì \(\vec u \cdot \vec u' = 0\), nên \(\theta = {90^\circ }\), hay hai đường thẳng vuông góc với nhau.
Bài tập 5.25 trang 70 SGK Toán 12 tập 2 là một bài toán quan trọng trong chương trình học về số phức. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về số phức, bao gồm:
Bài tập 5.25 thường yêu cầu học sinh thực hiện các thao tác sau:
Để giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích một ví dụ cụ thể. Giả sử bài tập yêu cầu chúng ta tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (2 + 3i)(1 - i).
Bước 1: Thực hiện phép nhân
z = (2 + 3i)(1 - i) = 2(1 - i) + 3i(1 - i) = 2 - 2i + 3i - 3i² = 2 + i - 3(-1) = 2 + i + 3 = 5 + i
Bước 2: Xác định phần thực và phần ảo
Từ kết quả trên, ta thấy phần thực của z là 5 và phần ảo của z là 1.
Ngoài bài tập 5.25, còn rất nhiều bài tập tương tự về số phức. Để giải các bài tập này, các em cần:
Số phức không chỉ là một khái niệm trừu tượng trong toán học mà còn có nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực:
Bài tập 5.25 trang 70 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em củng cố kiến thức về số phức. Hy vọng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải được trình bày ở trên, các em sẽ tự tin hơn khi làm bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán 12.
Hãy tiếp tục luyện tập và khám phá thêm nhiều bài tập thú vị khác tại giaibaitoan.com!
