Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tập 2 của giaibaitoan.com. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 2 trang 74, 75, 76 của sách giáo khoa Toán 12 tập 2.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong các kỳ thi.
Trong không gian Oxyz, cho điểm (M(x;y;z)), mặt cầu S có tâm (I(a;b;c)) và bán kính (r).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu \((S)\):
a) Có tâm \(I(2; - 1;0)\) và đi qua điểm \(M(4;1; - 2)\).
b) Có đường kính AB với \(A(0;1;3)\), \(B(4; - 5; - 1)\).
Phương pháp giải:
a)
- Tìm bán kính \(r\) của mặt cầu bằng cách tính khoảng cách IM.
- Sử dụng phương trình mặt cầu với tâm \(I(a;b;c)\) và bán kính \(r\):
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}.\)
b)
- Tìm tâm I của mặt cầu là trung điểm của đoạn AB.
- Tính bán kính \(r\) bằng nửa độ dài của AB.
- Dùng phương trình mặt cầu với tâm I và bán kính r.
Lời giải chi tiết:
a)
- Tâm \(I(2; - 1;0)\), điểm \(M(4;1; - 2)\).
- Tính bán kính:
\(r = IM = \sqrt {{{(4 - 2)}^2} + {{(1 + 1)}^2} + {{( - 2 - 0)}^2}} = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} = \sqrt {4 + 4 + 4} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 .\)
- Phương trình mặt cầu:
\({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = {(2\sqrt 3 )^2} = 12.\)
Vậy phương trình mặt cầu \(S\) là:
\({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 12.\)
b)
- Trung điểm I của đoạn AB là:
\(I = \left( {\frac{{0 + 4}}{2};\frac{{1 - 5}}{2};\frac{{3 - 1}}{2}} \right) = (2; - 2;1).\)
- Tính bán kính \(r\) bằng nửa độ dài AB:
\(r = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{{(4 - 0)}^2} + {{( - 5 - 1)}^2} + {{( - 1 - 3)}^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {{4^2} + {{( - 6)}^2} + {{( - 4)}^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {16 + 36 + 16} }}{2} = \frac{{\sqrt {68} }}{2} = \frac{{2\sqrt {17} }}{2} = \sqrt {17} .\)
- Phương trình mặt cầu:
\({(x - 2)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = {(\sqrt {17} )^2} = 17.\)
Vậy phương trình mặt cầu \(S\) là:
\({(x - 2)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 17.\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 74 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu có phương trình:
a) \({(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 9\)
b) \({x^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 1\)
Phương pháp giải:
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm \(I(a;b;c)\) và bán kính r là:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}.\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \({(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 9 \Leftrightarrow {(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = {3^2}\)
Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I( - 3;2; - 3)\) và bán kính \(r = 3\).
b) Ta có:
\({x^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 1 \Leftrightarrow {(x - 0)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 0)^2} = {1^2}\)
Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I(0; - 2;0)\) và bán kính \(r = 1\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu S có phương trình:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}\) (1). Khai triển (1), giả sử ta được:
\((1) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0.\)
a) Tính A, B, C, D của (2) theo a, b, c, r của (1).
b) Xác định dấu của \({A^2} + {B^2} + {C^2} - D\).
c) Tìm tâm I và bán kính \(r\) của mặt cầu (S) theo A, B, C, D.
Phương pháp giải:
a) Khai triển phương trình mặt cầu và so sánh hệ số với phương trình đã cho.
b) Tính biểu thức \({A^2} + {B^2} + {C^2} - D\) dựa trên các giá trị của A, B, C, và D.
c) Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu S bằng cách đưa phương trình về dạng chuẩn.
Lời giải chi tiết:
a)
Khai triển phương trình mặt cầu:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}.\)
Ta có:
\({x^2} - 2ax + {a^2} + {y^2} - 2by + {b^2} + {z^2} - 2cz + {c^2} = {r^2}.\)
Rút gọn, ta được:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + ({a^2} + {b^2} + {c^2} - {r^2}) = 0.\)
So sánh với phương trình đã cho:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0,\)
Suy ra:
\(A = - a,\quad B = - b,\quad C = - c,\quad D = {a^2} + {b^2} + {c^2} - {r^2}.\)
b)
Tính \({A^2} + {B^2} + {C^2} - D\):
\({A^2} + {B^2} + {C^2} - D = {( - a)^2} + {( - b)^2} + {( - c)^2} - ({a^2} + {b^2} + {c^2} - {r^2}).\)
\({A^2} + {B^2} + {C^2} - D = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ({a^2} + {b^2} + {c^2}) + {r^2} = {r^2} > 0\)
c)
Từ \(A = - a\), \(B = - b\), \(C = - c\), suy ra:
\(a = - A,\quad b = - B,\quad c = - C.\)
Tọa độ tâm \(I\) của mặt cầu là \(I( - A, - B, - C)\). Bán kính \(r\) của mặt cầu là:
\(r = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} - D} .\)
Vậy, tâm và bán kính của mặt cầu \(S\) là:
\(I( - A, - B, - C),\quad r = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} - D} .\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, xác định tâm I và bán kính \(r\) của mặt cầu có phương trình:
a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 1 = 0\).
b) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x + 12y - 9z + 1 = 0\).
Phương pháp giải:
a) Với phương trình mặt cầu dạng tổng quát \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0\):
- Tìm tọa độ tâm \(I(a,b,c)\) với
\(a = - A\), \(b = - B\), \(c = - C\).
- Tính bán kính \(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - D} \).
b) Nếu phương trình có hệ số khác 1 cho các x^2, y^2, z^2 thì chia cả hai vế cho hệ số đó để đưa về dạng chuẩn.
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình mặt cầu:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 1 = 0.\)
So sánh với phương trình mặt cầu tổng quát:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0,\)
ta có:
\(2A = 4 \Rightarrow A = 2,\quad 2B = - 2 \Rightarrow B = - 1,\quad 2C = 0 \Rightarrow C = 0,\quad D = 1.\)
Vậy:
\(a = - A = - 2,\quad b = - B = 1,\quad c = - C = 0.\)
Tâm \(I( - 2,1,0)\). Bán kính:
\(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - D} = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {0^2} - 1} = \sqrt {4 + 1 - 1} = \sqrt 4 = 2.\)
Vậy phương trình mặt cầu có tâm \(I( - 2,1,0)\) và bán kính \(r = 2\).
b)
Phương trình mặt cầu:
\(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x + 12y - 9z + 1 = 0.\)
Chia cả hai vế cho \(3\):
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 3z + \frac{1}{3} = 0.\)
So sánh với phương trình mặt cầu tổng quát:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0,\)
ta có:
\(2A = 2 \Rightarrow A = 1,\quad 2B = 4 \Rightarrow B = 2,\quad 2C = - 3 \Rightarrow C = - \frac{3}{2},\quad D = \frac{1}{3}.\)
Vậy:
\(a = - A = - 1,\quad b = - B = - 2,\quad c = - C = \frac{3}{2}.\)
Tâm \(I( - 1, - 2,\frac{3}{2})\). Bán kính:
\(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - D} = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - 2)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} - \frac{1}{3}} = \sqrt {1 + 4 + \frac{9}{4} - \frac{1}{3}} .\)
Tính tiếp:
\(r = \sqrt {\frac{{12 + 48 + 27 - 4}}{{12}}} = \sqrt {\frac{{83}}{{12}}} = \frac{{\sqrt {83} }}{2}.\)
Vậy phương trình mặt cầu có tâm \(I( - 1, - 2,\frac{3}{2})\) và bán kính \(r = \frac{{\sqrt {83} }}{2}\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 74 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M(x;y;z)\), mặt cầu S có tâm \(I(a;b;c)\) và bán kính \(r\).
a) Tính độ dài đoạn thẳng IM theo a, b, c, x, y, z.
b) Thay ? bằng một biểu thức hoặc một giá trị thích hợp để có phương trình của mặt cầu.
\(M \in (S) \Leftrightarrow IM = ? \Leftrightarrow \sqrt ? = r \Leftrightarrow {(x - ?)^2} + {(y - ?)^2} + {(z - ?)^2} = {r^2}.\)
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian để tính độ dài IM theo tọa độ.
b) Sử dụng tính chất khoảng cách từ tâm tới một điểm bất kỳ thuộc mặt cầu đều bằng bán kính của mặt cầu đó.
Lời giải chi tiết:
a) Khoảng cách từ \(I(a;b;c)\) đến \(M(x;y;z)\) là:
\(IM = \sqrt {{{(x - a)}^2} + {{(y - b)}^2} + {{(z - c)}^2}} .\)
b) Biểu thức sau khi thay ? là:
\(M \in (S) \Leftrightarrow IM = r \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - a)}^2} + {{(y - b)}^2} + {{(z - c)}^2}} = r \Leftrightarrow {(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}.\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong hệ trục Oxyz cho trước (đơn vị trên trục là mét), một trạm thu phát sóng 5G có bán kính vùng phủ sóng của trạm ở ngưỡng 600 m được đặt ở vị trí \(I(200;450;60)\)
a) Lập phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài và bên trong của vùng phủ sóng.
b) Nếu người dùng điện thoại đang ở vị trí \(A( - 100;50;10)\) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này không? Vì sao?
Phương pháp giải:
a) Dùng phương trình mặt cầu với tâm I và bán kính \(r\) đã cho.
b) Tính khoảng cách IA và so sánh với bán kính \(r\).
Lời giải chi tiết:
a)
Phương trình mặt cầu với tâm \(I(200;450;60)\) và bán kính \(r = 600\):
\({(x - 200)^2} + {(y - 450)^2} + {(z - 60)^2} = {600^2} = 360000.\)
Vậy phương trình mặt cầu mô tả vùng phủ sóng là:
\({(x - 200)^2} + {(y - 450)^2} + {(z - 60)^2} = 360000.\)
b)
Tính khoảng cách IA:
\(IA = \sqrt {{{( - 100 - 200)}^2} + {{(50 - 450)}^2} + {{(10 - 60)}^2}} = \sqrt {{{( - 300)}^2} + {{( - 400)}^2} + {{( - 50)}^2}} .\)
\(IA = \sqrt {90000 + 160000 + 2500} = \sqrt {252500} \approx 502.5.\)
Vì \(IA \approx 502.5 < 600\), nên người dùng điện thoại ở vị trí \(A( - 100;50;10)\) nằm trong vùng phủ sóng của trạm và có thể sử dụng dịch vụ của trạm này.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Giả sử người ta biểu diễn mô phỏng của tòa nhà Ericsson Globe ở phần Khởi động trong hệ trục tọa độ Oxyz bởi một mặt cầu có tâm I, đường kính 110 m và \(OA = 85\) m như hình vẽ (đơn vị trên trục là mét). Hãy viết phương trình của mặt cầu này.
Phương pháp giải:
1. Xác định tọa độ của tâm mặt cầu I:
- Vì tâm mặt cầu nằm trên trục Oz, nên tọa độ của I sẽ có dạng \((0,0,{z_0})\).
- Sử dụng thông tin khoảng cách từ O đến I để tìm \({z_0}\).
2. Viết phương trình của mặt cầu:
- Phương trình tổng quát của mặt cầu có tâm \(I(a,b,c)\) và bán kính \(R\) là:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\)
- Thay tọa độ tâm và bán kính vào phương trình trên để hoàn thành lời giải.
Lời giải chi tiết:
1. Xác định tọa độ tâm \(I\):
Do \(OA = 85\) m và bán kính của mặt cầu \(R = \frac{{110}}{2} = 55\) m, nên khoảng cách từ \(O\) đến \(I\) là:
\(OI = OA - R = 85 - 55 = 30 {\rm{m}}\).
Vậy tọa độ của \(I\) là \((0,0,30)\).
2. Viết phương trình của mặt cầu:
Phương trình mặt cầu với tâm \(I(0,0,30)\) và bán kính \(R = 55\) là:
\({(x - 0)^2} + {(y - 0)^2} + {(z - 30)^2} = {55^2}\)
\( \Leftrightarrow{x^2} + {y^2} + {(z - 30)^2} = 3025\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 74 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M(x;y;z)\), mặt cầu S có tâm \(I(a;b;c)\) và bán kính \(r\).
a) Tính độ dài đoạn thẳng IM theo a, b, c, x, y, z.
b) Thay ? bằng một biểu thức hoặc một giá trị thích hợp để có phương trình của mặt cầu.
\(M \in (S) \Leftrightarrow IM = ? \Leftrightarrow \sqrt ? = r \Leftrightarrow {(x - ?)^2} + {(y - ?)^2} + {(z - ?)^2} = {r^2}.\)
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian để tính độ dài IM theo tọa độ.
b) Sử dụng tính chất khoảng cách từ tâm tới một điểm bất kỳ thuộc mặt cầu đều bằng bán kính của mặt cầu đó.
Lời giải chi tiết:
a) Khoảng cách từ \(I(a;b;c)\) đến \(M(x;y;z)\) là:
\(IM = \sqrt {{{(x - a)}^2} + {{(y - b)}^2} + {{(z - c)}^2}} .\)
b) Biểu thức sau khi thay ? là:
\(M \in (S) \Leftrightarrow IM = r \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - a)}^2} + {{(y - b)}^2} + {{(z - c)}^2}} = r \Leftrightarrow {(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}.\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 74 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu có phương trình:
a) \({(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 9\)
b) \({x^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 1\)
Phương pháp giải:
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm \(I(a;b;c)\) và bán kính r là:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}.\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \({(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 9 \Leftrightarrow {(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = {3^2}\)
Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I( - 3;2; - 3)\) và bán kính \(r = 3\).
b) Ta có:
\({x^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 1 \Leftrightarrow {(x - 0)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 0)^2} = {1^2}\)
Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I(0; - 2;0)\) và bán kính \(r = 1\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu \((S)\):
a) Có tâm \(I(2; - 1;0)\) và đi qua điểm \(M(4;1; - 2)\).
b) Có đường kính AB với \(A(0;1;3)\), \(B(4; - 5; - 1)\).
Phương pháp giải:
a)
- Tìm bán kính \(r\) của mặt cầu bằng cách tính khoảng cách IM.
- Sử dụng phương trình mặt cầu với tâm \(I(a;b;c)\) và bán kính \(r\):
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}.\)
b)
- Tìm tâm I của mặt cầu là trung điểm của đoạn AB.
- Tính bán kính \(r\) bằng nửa độ dài của AB.
- Dùng phương trình mặt cầu với tâm I và bán kính r.
Lời giải chi tiết:
a)
- Tâm \(I(2; - 1;0)\), điểm \(M(4;1; - 2)\).
- Tính bán kính:
\(r = IM = \sqrt {{{(4 - 2)}^2} + {{(1 + 1)}^2} + {{( - 2 - 0)}^2}} = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} = \sqrt {4 + 4 + 4} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 .\)
- Phương trình mặt cầu:
\({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = {(2\sqrt 3 )^2} = 12.\)
Vậy phương trình mặt cầu \(S\) là:
\({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 12.\)
b)
- Trung điểm I của đoạn AB là:
\(I = \left( {\frac{{0 + 4}}{2};\frac{{1 - 5}}{2};\frac{{3 - 1}}{2}} \right) = (2; - 2;1).\)
- Tính bán kính \(r\) bằng nửa độ dài AB:
\(r = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{{(4 - 0)}^2} + {{( - 5 - 1)}^2} + {{( - 1 - 3)}^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {{4^2} + {{( - 6)}^2} + {{( - 4)}^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {16 + 36 + 16} }}{2} = \frac{{\sqrt {68} }}{2} = \frac{{2\sqrt {17} }}{2} = \sqrt {17} .\)
- Phương trình mặt cầu:
\({(x - 2)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = {(\sqrt {17} )^2} = 17.\)
Vậy phương trình mặt cầu \(S\) là:
\({(x - 2)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 17.\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu S có phương trình:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}\) (1). Khai triển (1), giả sử ta được:
\((1) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0.\)
a) Tính A, B, C, D của (2) theo a, b, c, r của (1).
b) Xác định dấu của \({A^2} + {B^2} + {C^2} - D\).
c) Tìm tâm I và bán kính \(r\) của mặt cầu (S) theo A, B, C, D.
Phương pháp giải:
a) Khai triển phương trình mặt cầu và so sánh hệ số với phương trình đã cho.
b) Tính biểu thức \({A^2} + {B^2} + {C^2} - D\) dựa trên các giá trị của A, B, C, và D.
c) Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu S bằng cách đưa phương trình về dạng chuẩn.
Lời giải chi tiết:
a)
Khai triển phương trình mặt cầu:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}.\)
Ta có:
\({x^2} - 2ax + {a^2} + {y^2} - 2by + {b^2} + {z^2} - 2cz + {c^2} = {r^2}.\)
Rút gọn, ta được:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + ({a^2} + {b^2} + {c^2} - {r^2}) = 0.\)
So sánh với phương trình đã cho:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0,\)
Suy ra:
\(A = - a,\quad B = - b,\quad C = - c,\quad D = {a^2} + {b^2} + {c^2} - {r^2}.\)
b)
Tính \({A^2} + {B^2} + {C^2} - D\):
\({A^2} + {B^2} + {C^2} - D = {( - a)^2} + {( - b)^2} + {( - c)^2} - ({a^2} + {b^2} + {c^2} - {r^2}).\)
\({A^2} + {B^2} + {C^2} - D = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ({a^2} + {b^2} + {c^2}) + {r^2} = {r^2} > 0\)
c)
Từ \(A = - a\), \(B = - b\), \(C = - c\), suy ra:
\(a = - A,\quad b = - B,\quad c = - C.\)
Tọa độ tâm \(I\) của mặt cầu là \(I( - A, - B, - C)\). Bán kính \(r\) của mặt cầu là:
\(r = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} - D} .\)
Vậy, tâm và bán kính của mặt cầu \(S\) là:
\(I( - A, - B, - C),\quad r = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} - D} .\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, xác định tâm I và bán kính \(r\) của mặt cầu có phương trình:
a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 1 = 0\).
b) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x + 12y - 9z + 1 = 0\).
Phương pháp giải:
a) Với phương trình mặt cầu dạng tổng quát \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0\):
- Tìm tọa độ tâm \(I(a,b,c)\) với
\(a = - A\), \(b = - B\), \(c = - C\).
- Tính bán kính \(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - D} \).
b) Nếu phương trình có hệ số khác 1 cho các x^2, y^2, z^2 thì chia cả hai vế cho hệ số đó để đưa về dạng chuẩn.
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình mặt cầu:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 1 = 0.\)
So sánh với phương trình mặt cầu tổng quát:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0,\)
ta có:
\(2A = 4 \Rightarrow A = 2,\quad 2B = - 2 \Rightarrow B = - 1,\quad 2C = 0 \Rightarrow C = 0,\quad D = 1.\)
Vậy:
\(a = - A = - 2,\quad b = - B = 1,\quad c = - C = 0.\)
Tâm \(I( - 2,1,0)\). Bán kính:
\(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - D} = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {0^2} - 1} = \sqrt {4 + 1 - 1} = \sqrt 4 = 2.\)
Vậy phương trình mặt cầu có tâm \(I( - 2,1,0)\) và bán kính \(r = 2\).
b)
Phương trình mặt cầu:
\(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x + 12y - 9z + 1 = 0.\)
Chia cả hai vế cho \(3\):
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 3z + \frac{1}{3} = 0.\)
So sánh với phương trình mặt cầu tổng quát:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0,\)
ta có:
\(2A = 2 \Rightarrow A = 1,\quad 2B = 4 \Rightarrow B = 2,\quad 2C = - 3 \Rightarrow C = - \frac{3}{2},\quad D = \frac{1}{3}.\)
Vậy:
\(a = - A = - 1,\quad b = - B = - 2,\quad c = - C = \frac{3}{2}.\)
Tâm \(I( - 1, - 2,\frac{3}{2})\). Bán kính:
\(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - D} = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - 2)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} - \frac{1}{3}} = \sqrt {1 + 4 + \frac{9}{4} - \frac{1}{3}} .\)
Tính tiếp:
\(r = \sqrt {\frac{{12 + 48 + 27 - 4}}{{12}}} = \sqrt {\frac{{83}}{{12}}} = \frac{{\sqrt {83} }}{2}.\)
Vậy phương trình mặt cầu có tâm \(I( - 1, - 2,\frac{3}{2})\) và bán kính \(r = \frac{{\sqrt {83} }}{2}\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong hệ trục Oxyz cho trước (đơn vị trên trục là mét), một trạm thu phát sóng 5G có bán kính vùng phủ sóng của trạm ở ngưỡng 600 m được đặt ở vị trí \(I(200;450;60)\)
a) Lập phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài và bên trong của vùng phủ sóng.
b) Nếu người dùng điện thoại đang ở vị trí \(A( - 100;50;10)\) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này không? Vì sao?
Phương pháp giải:
a) Dùng phương trình mặt cầu với tâm I và bán kính \(r\) đã cho.
b) Tính khoảng cách IA và so sánh với bán kính \(r\).
Lời giải chi tiết:
a)
Phương trình mặt cầu với tâm \(I(200;450;60)\) và bán kính \(r = 600\):
\({(x - 200)^2} + {(y - 450)^2} + {(z - 60)^2} = {600^2} = 360000.\)
Vậy phương trình mặt cầu mô tả vùng phủ sóng là:
\({(x - 200)^2} + {(y - 450)^2} + {(z - 60)^2} = 360000.\)
b)
Tính khoảng cách IA:
\(IA = \sqrt {{{( - 100 - 200)}^2} + {{(50 - 450)}^2} + {{(10 - 60)}^2}} = \sqrt {{{( - 300)}^2} + {{( - 400)}^2} + {{( - 50)}^2}} .\)
\(IA = \sqrt {90000 + 160000 + 2500} = \sqrt {252500} \approx 502.5.\)
Vì \(IA \approx 502.5 < 600\), nên người dùng điện thoại ở vị trí \(A( - 100;50;10)\) nằm trong vùng phủ sóng của trạm và có thể sử dụng dịch vụ của trạm này.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Giả sử người ta biểu diễn mô phỏng của tòa nhà Ericsson Globe ở phần Khởi động trong hệ trục tọa độ Oxyz bởi một mặt cầu có tâm I, đường kính 110 m và \(OA = 85\) m như hình vẽ (đơn vị trên trục là mét). Hãy viết phương trình của mặt cầu này.
Phương pháp giải:
1. Xác định tọa độ của tâm mặt cầu I:
- Vì tâm mặt cầu nằm trên trục Oz, nên tọa độ của I sẽ có dạng \((0,0,{z_0})\).
- Sử dụng thông tin khoảng cách từ O đến I để tìm \({z_0}\).
2. Viết phương trình của mặt cầu:
- Phương trình tổng quát của mặt cầu có tâm \(I(a,b,c)\) và bán kính \(R\) là:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\)
- Thay tọa độ tâm và bán kính vào phương trình trên để hoàn thành lời giải.
Lời giải chi tiết:
1. Xác định tọa độ tâm \(I\):
Do \(OA = 85\) m và bán kính của mặt cầu \(R = \frac{{110}}{2} = 55\) m, nên khoảng cách từ \(O\) đến \(I\) là:
\(OI = OA - R = 85 - 55 = 30 {\rm{m}}\).
Vậy tọa độ của \(I\) là \((0,0,30)\).
2. Viết phương trình của mặt cầu:
Phương trình mặt cầu với tâm \(I(0,0,30)\) và bán kính \(R = 55\) là:
\({(x - 0)^2} + {(y - 0)^2} + {(z - 30)^2} = {55^2}\)
\( \Leftrightarrow{x^2} + {y^2} + {(z - 30)^2} = 3025\).
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình học. Để giải quyết hiệu quả các bài tập trong mục này, học sinh cần nắm vững lý thuyết, công thức và phương pháp giải liên quan. Việc hiểu rõ bản chất của vấn đề là yếu tố then chốt để tìm ra lời giải chính xác.
Các bài tập trang 74 thường là những bài tập cơ bản để kiểm tra mức độ hiểu bài của học sinh. Chúng thường yêu cầu áp dụng trực tiếp các công thức và định nghĩa đã học. Ví dụ, có thể là tính đạo hàm của hàm số, tìm cực trị của hàm số, hoặc xét tính đơn điệu của hàm số.
Trang 75 thường chứa các bài tập nâng cao hơn, đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học và kết hợp nhiều phương pháp giải khác nhau. Các bài tập này có thể liên quan đến việc giải phương trình, bất phương trình, hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.
Các bài tập trang 76 thường là các bài tập tổng hợp, yêu cầu học sinh phải kết hợp nhiều kiến thức và kỹ năng khác nhau để giải quyết. Chúng có thể là các bài toán thực tế, hoặc các bài toán trắc nghiệm.
| Bài tập | Nội dung |
|---|---|
| Bài 5 | Bài toán ứng dụng về đạo hàm trong kinh tế. |
| Bài 6 | Bài toán trắc nghiệm về hàm số. |
Để giải các bài tập trong mục 2 trang 74, 75, 76 SGK Toán 12 tập 2 một cách hiệu quả, học sinh nên:
Hy vọng rằng với những lời giải chi tiết và phương pháp giải toán hiệu quả mà chúng tôi đã cung cấp, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập trong mục 2 trang 74, 75, 76 SGK Toán 12 tập 2. Chúc các em học tập tốt!
