Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.19 trang 31 SGK Toán 12 tập 2 của giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học môn Toán lớp 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Tính diện tích hình phẳng được gạch chép trong Hình 4.26.
Đề bài
Tính diện tích hình phẳng được gạch chép trong Hình 4.26.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hai số \(y = f(x)\), \(y = g(x)\) và các đường thẳng \(x = a\), \(x = b\):
\(S = \int_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|} dx\).
Lời giải chi tiết
Nhìn vào Hình 4.26 ta nhận thấy hình phẳng được giới hạn hai đồ thị hàm số là \(y = {x^2} - 2x - 2\) và \(y = - {x^2} + 2\) và hai đường thẳng là \(x = - 1\), \(x = 2\).
Diện tích hình phẳng là:
\(S = \int_{ - 1}^2 {\left| {({x^2} - 2x - 2) - ( - {x^2} + 2)} \right|dx} = \int_{ - 1}^2 {\left| {2{x^2} - 2x - 4} \right|dx} \)
Biểu thức \(2{x^2} - 2x - 4\) âm trên \(( - 1,2)\), nên:
\(S = - \int_{ - 1}^2 {(2{x^2} - 2x - 4)dx} \)
\(\int {(2{x^2} - 2x - 4)} dx = \frac{2}{3}{x^3} - {x^2} - 4x\)
\(S = - \left[ {\left( {\frac{2}{3}({2^3}) - ({2^2}) - 4(2)} \right) - \left( {\frac{2}{3}{{( - 1)}^3} - {{( - 1)}^2} - 4( - 1)} \right)} \right] = - \left( { - \frac{{20}}{3} - \frac{7}{3}} \right) = 9\).
Bài tập 4.19 trang 31 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
Để minh họa, chúng ta sẽ xét một ví dụ cụ thể. Giả sử hàm số cần khảo sát là f(x) = x3 - 3x2 + 2.
Hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.
f'(x) = 3x2 - 6x.
Giải phương trình f'(x) = 0, ta được:
3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
Vậy, hàm số có hai điểm dừng là x = 0 và x = 2.
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Tại x = 0, f'(x) đổi dấu từ dương sang âm, do đó hàm số đạt cực đại tại x = 0 và giá trị cực đại là f(0) = 2.
Tại x = 2, f'(x) đổi dấu từ âm sang dương, do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu là f(2) = -2.
limx→+∞ f(x) = +∞ và limx→-∞ f(x) = -∞. Hàm số không có tiệm cận.
Hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2). Hàm số đạt cực đại tại x = 0 với giá trị là 2 và đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị là -2.
Bài tập 4.19 trang 31 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm. Việc nắm vững các bước giải và thực hành với nhiều bài tập khác nhau sẽ giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi.
Giaibaitoan.com hy vọng rằng lời giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về bài tập và có thêm kiến thức để học tập tốt hơn. Chúc các em học tập tốt!
