Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 5.42 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 tại giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Một tháp phát sóng cao 50 m đặt ở góc A của sân hình chữ nhật ABCD. Để giữ cho tháp không bị đổ, người ta có cột rất nhiều dây cáp quanh tháp và cố định tại các vị trí trên mặt đất. Hai chú kiến vàng và kiến đen bắt đầu leo lên hai dây cáp CM và BN (từ C và B) với vận tốc lần lượt là 3 m/phút và 2,5 m/phút. Hỏi sau 10 phút thì hai chú kiến cách nhau bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Đề bài
Một tháp phát sóng cao 50 m đặt ở góc A của sân hình chữ nhật ABCD. Để giữ cho tháp không bị đổ, người ta có cột rất nhiều dây cáp quanh tháp và cố định tại các vị trí trên mặt đất. Hai chú kiến vàng và kiến đen bắt đầu leo lên hai dây cáp CM và BN (từ C và B) với vận tốc lần lượt là 3 m/phút và 2,5 m/phút. Hỏi sau 10 phút thì hai chú kiến cách nhau bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xác định các điểm mà các chú kiến bắt đầu leo lên dây và điểm đến trên cột.
- Tính chiều dài của các đoạn dây (ví dụ: CM và BN) dựa trên vị trí các điểm gốc của dây.
- Dựa vào vận tốc của mỗi chú kiến, tính toán quãng đường mà mỗi chú kiến leo được sau thời gian đã cho.
- Sử dụng tọa độ của hai chú kiến sau thời gian leo lên để xác định khoảng cách giữa chúng, có thể sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian.
Lời giải chi tiết
* Đặt gốc toạ độ tại A, trục Ox chứa cạnh AB, trục Oy chứa cạnh AD và trục Oz chứa cạnh AM
- Toạ độ các điểm là: \(A(0;0;0)\), \(B(8;0;0)\), \(D(0;12;0)\), \(C(8;12;0)\), \(M(0;0;46)\), \(N(0;0;40)\).
* Tính chiều dài của dây cáp CM và BN:
- Dây cáp \(\overrightarrow {CM} ( - 8; - 12;46)\): \(CM = \sqrt {{{(0 - 8)}^2} + {{(0 - 12)}^2} + {{(46 - 0)}^2}} = 2\sqrt {581} \approx 48,2{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
- Dây cáp \(\overrightarrow {BN} ( - 8;0;40)\): \(BN = \sqrt {{{(0 - 8)}^2} + {{(40 - 0)}^2}} = 8\sqrt {26} \approx 40,8{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
* Tính quãng đường hai chú kiến leo lên sau 10 phút:
- Quãng đường chú kiến vàng leo lên dây CM: \({S_{CM}} = 3 \times 10 = 30{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
- Quãng đường chú kiến đen leo lên dây BN: \({S_{BN}} = 2.5 \times 10 = 25{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
* Xác định vị trí của hai chú kiến trên các dây cáp CM và BN sau 10 phút:
- Tỉ lệ vị trí của chú kiến vàng trên dây CM: \(\frac{{{S_{CM}}}}{{CM}} = \frac{{30}}{{48,2}} \approx 0,62\)
- Tọa độ của chú kiến vàng sau 10 phút là:
\(({x_{M'}},{y_{M'}},{z_{M'}}) = 0.62 \times \overrightarrow {CM} + C = (0,62 \times ( - 8);0,62 \times ( - 12);0,62 \times 46) + (8;12;0) \approx (3,04;4,56;28,52)\)
- Tỉ lệ vị trí của chú kiến đen trên dây BN: \(\frac{{{S_{BN}}}}{{BN}} = \frac{{25}}{{40,8}} \approx 0,61\)
- Tọa độ của chú kiến đen sau 10 phút là:
\(({x_{N'}},{y_{N'}},{z_{N'}}) = 0,61 \times \overrightarrow {BN} + \overrightarrow B = (0,61 \times ( - 8);0;0,61 \times 40) + (8;0;0) \approx (3,12;0;24,4)\)
* Tính khoảng cách giữa hai chú kiến Khoảng cách giữa hai chú kiến là:
\(d = \sqrt {{{({x_{M'}} - {x_{N'}})}^2} + {{({y_{M'}} - {y_{N'}})}^2} + {{({z_{M'}} - {z_{N'}})}^2}} \)
Thay các giá trị vào:
\(d = \sqrt {{{(3,04 - 3,12)}^2} + {{(4,56 - 0)}^2} + {{(28,52 - 24,4)}^2}} \approx 6,15\)
Vậy sau 10 phút, khoảng cách giữa hai chú kiến là khoảng 6,15 m (làm tròn đến hàng phần trăm).
Bài tập 5.42 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 là một bài toán điển hình về ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và tìm cực trị. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
Để minh họa phương pháp trên, chúng ta sẽ cùng giải bài tập 5.42 trang 85 SGK Toán 12 tập 2. (Nội dung lời giải chi tiết sẽ được trình bày tại đây, bao gồm các bước tính toán cụ thể, giải thích rõ ràng và kết luận chính xác. Ví dụ: Giả sử bài tập yêu cầu tìm cực trị của hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2, lời giải sẽ bao gồm các bước tính đạo hàm, tìm điểm dừng, khảo sát dấu đạo hàm, và kết luận về cực đại, cực tiểu.)
Ngoài bài tập 5.42, còn rất nhiều bài tập tương tự về ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và tìm cực trị. Các bài tập này có thể khác nhau về dạng hàm số, điều kiện của bài toán, hoặc yêu cầu cụ thể. Tuy nhiên, phương pháp giải chung vẫn dựa trên các bước đã trình bày ở trên.
Để học tập và ôn thi môn Toán 12 hiệu quả, các em cần:
Bài tập 5.42 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu sâu hơn về ứng dụng đạo hàm trong việc khảo sát hàm số và tìm cực trị. Hy vọng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, các em sẽ tự tin giải quyết bài tập này và các bài tập tương tự một cách hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!
