Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.18 trang 21 SGK Toán 12 tập 2 của giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Ở \({45^^\circ }C\), phản ứng hóa học phân hủy \({N_2}{O_5}\) xảy ra theo phương trình: \({N_2}{O_5} \to 2N{O_2} + \frac{1}{2}{O_2}\) với nồng độ \(c(t)\) (mol/L) của \({N_2}{O_5}\) \((c(t) > 0)\) tại thời điểm \(t\) giây (t \( \ge 0\)) thỏa mãn \(c'(t) = - 0,0005c(t)\). Biết khi \(t = 0\), nồng độ ban đầu của \({N_2}{O_5}\) là 0,05 mol/L. a) Xét hàm số \(y(t) = \ln c(t)\) với \(t \ge 0\). Tính \(y'(t)\), từ đó tìm \(y(t)\). b) Biết rằng nồng độ trung bình của \({N_2}{O_5}\) (mol/L) từ thờ
Đề bài
Ở \({45^\circ }C\), phản ứng hóa học phân hủy \({N_2}{O_5}\) xảy ra theo phương trình:
\({N_2}{O_5} \to 2N{O_2} + \frac{1}{2}{O_2}\)
với nồng độ \(c(t)\) (mol/L) của \({N_2}{O_5}\) \((c(t) > 0)\) tại thời điểm \(t\) giây (t \( \ge 0\)) thỏa mãn \(c'(t) = - 0,0005c(t)\). Biết khi \(t = 0\), nồng độ ban đầu của \({N_2}{O_5}\) là 0,05 mol/L.
a) Xét hàm số \(y(t) = \ln c(t)\) với \(t \ge 0\). Tính \(y'(t)\), từ đó tìm \(y(t)\).
b) Biết rằng nồng độ trung bình của \({N_2}{O_5}\) (mol/L) từ thời điểm \(a\) giây đến thời điểm \(b\) giây (\(a < b\)) được cho bởi công thức:
\(\frac{1}{{b - a}}\int_a^b c (t){\mkern 1mu} dt\)
Tính nồng độ trung bình của \({N_2}{O_5}\) từ thời điểm 10 giây đến thời điểm 20 giây.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a)
- Sử dụng công thức \(c'(t) = - 0,0005c(t)\), suy ra \(y'(t)\) từ định nghĩa của hàm \(y(t) = \ln c(t)\)
- Từ \(y'(t)\), tính tích phân để tìm \(y(t)\).
b)
- Tính nồng độ trung bình bằng cách sử dụng công thức:
\(\frac{1}{{b - a}}\int_a^b c (t){\mkern 1mu} dt\)
- Sử dụng hàm \(c(t)\) đã biết từ câu a để tính tích phân.
Lời giải chi tiết
a)
- Ta có:
\(y(t) = \ln c(t)\)
Lấy đạo hàm của \(y(t)\):
\(y'(t) = \frac{d}{{dt}}[\ln c(t)] = \frac{{c'(t)}}{{c(t)}}\)
- Theo đề bài, \(c'(t) = - 0,0005c(t)\), do đó:
\(y'(t) = \frac{{ - 0,0005c(t)}}{{c(t)}} = - 0,0005\)
- Tính \(y(t)\) bằng cách tích phân \(y'(t)\):
\(y(t) = \int {y'} (t){\mkern 1mu} dt = \int - 0,0005{\mkern 1mu} dt = - 0,0005t + C\)
- Khi \(t = 0\), ta có \(c(0) = 0,05{\mkern 1mu} {\rm{mol/L}}\), do đó:
\(y(0) = \ln c(0) = \ln 0,05\)
Vậy, \(C = \ln 0,05\).
- Kết luận:
\(y(t) = - 0,0005t + \ln 0,05\)
b)
- Nồng độ trung bình của \({N_2}{O_5}\) từ thời điểm 10 giây đến thời điểm 20 giây là:
\(\frac{1}{{b - a}}\int_a^b c (t){\mkern 1mu} dt = \frac{1}{{20 - 10}}\int_{10}^{20} c (t){\mkern 1mu} dt = \frac{1}{{10}}\int_{10}^{20} c (t){\mkern 1mu} dt\)
- Từ câu a, ta biết \(c(t) = {e^{y(t)}} = {e^{ - 0,0005t + \ln 0,05}} = 0,05{e^{ - 0,0005t}}\).
- Tính tích phân:
\(\int_{10}^{20} 0 ,05{e^{ - 0,0005t}}{\mkern 1mu} dt = 0,05\int_{10}^{20} {{e^{ - 0,0005t}}} {\mkern 1mu} dt\)
- Tích phân của \({e^{ - 0,0005t}}\) là:
\(\int {{e^{ - 0,0005t}}} {\mkern 1mu} dt = \frac{{{e^{ - 0,0005t}}}}{{ - 0,0005}} = - 2000{e^{ - 0,0005t}}\)
- Do đó:
\(0,05\int_{10}^{20} {{e^{ - 0,0005t}}} {\mkern 1mu} dt = 0,05\left( { - 2000{e^{ - 0,0005t}}|_{10}^{20}} \right)\)
\( = - 100\left( {{e^{ - 0,0005 \times 20}} - {e^{ - 0,0005 \times 10}}} \right)\)
\( = - 100\left( {{e^{ - 0,01}} - {e^{ - 0,005}}} \right)\)
- Sử dụng giá trị gần đúng:
\({e^{ - 0,01}} \approx 0,99005,\quad {e^{ - 0,005}} \approx 0,99501\)
- Khi đó:
\( - 100\left( {0,99005 - 0,99501} \right) = - 100 \times ( - 0,00496) = 0,496\)
- Nồng độ trung bình là:
\(\frac{1}{{10}} \times 0,496 = 0,0496{\mkern 1mu} {\rm{mol/L}}\)
Bài tập 4.18 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Cụ thể, đề bài thường cho một hàm số bậc ba hoặc bậc bốn và yêu cầu xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu, và vẽ đồ thị hàm số.
Giả sử bài tập 4.18 là: Khảo sát hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có tập xác định là D = ℝ.
y' = 3x2 - 6x
3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
y'' = 6x - 6
Tại x = 0, y'' = -6 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = 0, y(0) = 2. Điểm cực đại là (0, 2).
Tại x = 2, y'' = 6 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, y(2) = -2. Điểm cực tiểu là (2, -2).
Việc khảo sát hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, như:
Bài tập 4.18 trang 21 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về phương pháp khảo sát hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, các em sẽ tự tin giải bài tập và nắm vững kiến thức Toán 12.
