Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.17 trang 21 SGK Toán 12 tập 2 của giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Hiệu suất của tim là lưu lượng máu được bơm bởi tim trên một đơn vị thời gian (lưu lượng máu chảy vào động mạch chủ). Để đo hiệu suất của tim, người ta bơm \(A\) (mg) chất chỉ thị màu vào tâm nhĩ phải, chảy qua tim rồi vào động mạch chủ và đo nồng độ chất chỉ thị màu còn lại ở tim đến thời điểm \(T(s)\) khi chất chỉ thị màu tan sạch. Gọi \(c(t)\) là nồng độ \(({\rm{mg/l}})\) chất chỉ thị màu tại thời điểm \(t\) (s) thì hiệu suất của tim được xác định bởi: \(F = \frac{A}{{\int_0^T c (t)dt}}{\mk
Đề bài
Hiệu suất của tim là lưu lượng máu được bơm bởi tim trên một đơn vị thời gian (lưu lượng máu chảy vào động mạch chủ). Để đo hiệu suất của tim, người ta bơm \(A\) (mg) chất chỉ thị màu vào tâm nhĩ phải, chảy qua tim rồi vào động mạch chủ và đo nồng độ chất chỉ thị màu còn lại ở tim đến thời điểm \(T(s)\) khi chất chỉ thị màu tan sạch. Gọi \(c(t)\) là nồng độ \(({\rm{mg/l}})\) chất chỉ thị màu tại thời điểm \(t\) (s) thì hiệu suất của tim được xác định bởi:
\(F = \frac{A}{{\int_0^T c (t)dt}}{\mkern 1mu} ({\rm{l/s}})\)
Tính hiệu suất của tim khi bơm 8 mg chất chỉ thị màu vào tâm nhĩ phải, biết rằng \(c(t) = \frac{1}{4}t(12 - t)\) với \(0 \le t \le 12\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tính tích phân \(\int_0^{12} c (t){\mkern 1mu} dt\) với hàm \(c(t) = \frac{1}{4}t(12 - t)\).
- Thay kết quả vào công thức \(F = \frac{A}{{\int_0^T c (t){\mkern 1mu} dt}}\).
Lời giải chi tiết
- Hàm nồng độ chất chỉ thị màu theo thời gian \(c(t)\) được cho bởi:
\(c(t) = \frac{1}{4}t(12 - t)\)
- Tính tích phân \(\int_0^{12} c (t){\mkern 1mu} dt\):
\(\int_0^{12} {\frac{1}{4}} t(12 - t){\mkern 1mu} dt = \frac{1}{4}\int_0^{12} t (12 - t){\mkern 1mu} dt\)
- Ta phân tích biểu thức \(t(12 - t)\):
\(t(12 - t) = 12t - {t^2}\)
- Khi đó, tích phân trở thành:
\(\frac{1}{4}\int_0^{12} {(12t - {t^2})} {\mkern 1mu} dt = \frac{1}{4}\left( {\int_0^{12} 1 2t{\mkern 1mu} dt - \int_0^{12} {{t^2}} {\mkern 1mu} dt} \right)\)
- Tính từng tích phân:
\(\int_0^{12} 1 2t{\mkern 1mu} dt = 12 \times \frac{{{t^2}}}{2}|_0^{12} = 12 \times \frac{{{{12}^2}}}{2} = 12 \times 72 = 864\)
\(\int_0^{12} {{t^2}} {\mkern 1mu} dt = \frac{{{t^3}}}{3}|_0^{12} = \frac{{{{12}^3}}}{3} = \frac{{1728}}{3} = 576\)
- Vậy, ta có:
\(\frac{1}{4}\left( {864 - 576} \right) = \frac{1}{4} \times 288 = 72\)
- Thay kết quả vào công thức tính hiệu suất \(F\):
\(F = \frac{A}{{\int_0^{12} c (t){\mkern 1mu} dt}} = \frac{8}{{72}} = \frac{1}{9}{\mkern 1mu} ({\rm{l/s}})\).
Bài tập 4.17 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị, khoảng đơn điệu, giới hạn vô cùng và vẽ đồ thị hàm số. Cụ thể, đề bài thường cho một hàm số bậc ba hoặc bậc bốn và yêu cầu phân tích các đặc điểm của nó.
Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Giả sử hàm số được cho là: y = x3 - 3x2 + 2
Tập xác định của hàm số là D = R (tập hợp tất cả các số thực).
y' = 3x2 - 6x
Giải phương trình y' = 0: 3x2 - 6x = 0 => 3x(x - 2) = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Xét dấu đạo hàm cấp một:
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0, ycđ = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, yct = -2
y'' = 6x - 6
Giải phương trình y'' = 0: 6x - 6 = 0 => x = 1
Khi x < 1: y'' < 0 => Đồ thị hàm số lõm xuống
Khi x > 1: y'' > 0 => Đồ thị hàm số lồi lên
Vậy hàm số có điểm uốn tại x = 1, yu = 0
limx→+∞ y = +∞
limx→-∞ y = -∞
(Phần này cần vẽ đồ thị hàm số dựa trên các thông tin đã tính toán)
Các em có thể luyện tập thêm với các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 2 và các đề thi thử Toán 12 để nâng cao kỹ năng giải bài tập khảo sát hàm số.
Hy vọng bài giải này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài tập 4.17 trang 21 SGK Toán 12 tập 2. Chúc các em học tập tốt!
