Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 5.45 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 tại giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về số phức và các phép toán liên quan.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Cho hai điểm A(1; 3; 0) và B(5; 1; −2). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là
Đề bài
Cho hai điểm A(1; 3; 0) và B(5; 1; −2). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có
phương trình là
A. \(2x - y - z + 5 = 0\)
B. \(2x - y - z - 5 = 0\)
C. \(x + y + z - 3 = 0\)
D. \(3x + 2y - z - 4 = 0\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương trình mặt phẳng có dạng:
\({n_1}(x - {x_0}) + {n_2}(y - {y_0}) + {n_3}(z - {z_0}) = 0\)
trong đó \(({x_0},{y_0},{z_0})\) là tọa độ của một điểm trong mặt phẳng và \(({n_1},{n_2},{n_3})\) là tọa độ của véc-tơ pháp tuyến.
Lời giải chi tiết
Trung điểm M của đoạn AB có tọa độ:
\(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right) = \left( {\frac{{1 + 5}}{2};\frac{{3 + 1}}{2};\frac{{0 - 2}}{2}} \right) = \left( {3;2; - 1} \right)\)
Véc-tơ \(\overrightarrow {AB} \) có tọa độ:
\(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A},{y_B} - {y_A},{z_B} - {z_A}) = (5 - 1;1 - 3; - 2 - 0) = (4; - 2; - 2)\)
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng vuông góc với đoạn AB. Do đó, véc-tơ \(\overrightarrow {AB} \) cũng là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực. Vậy, véc-tơ pháp tuyến \(\vec n\) của mặt phẳng trung trực là:
\(\vec n = (4, - 2, - 2)\)
Gọi phương trình mặt phẳng trung trực là \(4x - 2y - 2z + D = 0\). Vì mặt phẳng này đi qua trung điểm \(M(3,2, - 1)\), nên tọa độ của M phải thỏa mãn phương trình mặt phẳng này:
\(4 \cdot 3 - 2 \cdot 2 - 2 \cdot ( - 1) + D = 0\)
\(12 - 4 + 2 + D = 0\)
\(10 + D = 0 \Rightarrow D = - 10\)
Vậy, phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là:
\(4x - 2y - 2z - 10 = 0\)
\(2x - y - z - 5 = 0\)
Chọn B
Bài tập 5.45 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta tìm số phức z thỏa mãn một điều kiện nhất định. Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về số phức, bao gồm:
Trước khi đi vào lời giải cụ thể, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu và các dữ kiện đã cho. Bài toán thường yêu cầu tìm số phức z thỏa mãn một phương trình hoặc bất đẳng thức liên quan đến z và các số phức khác.
Để minh họa, giả sử bài tập 5.45 có nội dung như sau: Tìm số phức z biết |z - (2 + i)| = √5 và phần thực của z bằng 1.
Bước 1: Đặt z = x + yi, với x, y là các số thực.
Khi đó, z - (2 + i) = (x - 2) + (y - 1)i.
Bước 2: Thay vào điều kiện |z - (2 + i)| = √5.
Ta có: |(x - 2) + (y - 1)i| = √((x - 2)² + (y - 1)²) = √5.
Suy ra: (x - 2)² + (y - 1)² = 5.
Bước 3: Sử dụng điều kiện phần thực của z bằng 1.
Tức là x = 1.
Bước 4: Thay x = 1 vào phương trình (x - 2)² + (y - 1)² = 5.
(1 - 2)² + (y - 1)² = 5
1 + (y - 1)² = 5
(y - 1)² = 4
y - 1 = ±2
y = 3 hoặc y = -1
Bước 5: Kết luận.
Vậy, z = 1 + 3i hoặc z = 1 - i.
Ngoài bài tập 5.45, còn rất nhiều bài tập tương tự liên quan đến số phức. Một số dạng bài tập phổ biến bao gồm:
Để giải các bài tập về số phức một cách hiệu quả, bạn nên:
Để học tập và ôn luyện kiến thức về số phức, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
Bài tập 5.45 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập điển hình về số phức. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, các em học sinh có thể hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!
