Chào mừng bạn đến với chuyên mục Lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 của giaibaitoan.com! Nguyên hàm là một khái niệm quan trọng trong chương trình Giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán tích phân và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác.
Ở đây, chúng tôi cung cấp một cách tiếp cận toàn diện, từ định nghĩa cơ bản đến các tính chất và phương pháp tìm nguyên hàm, giúp bạn xây dựng nền tảng kiến thức vững chắc.
1. Khái niệm nguyên hàm
1. Khái niệm nguyên hàm
| Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K. |
Chú ý:
Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó:
a) Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
b) Nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao chp G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.
Như vậy, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số). Ta gọi F(x) + với C thuộc R là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu \(\int {f(x)dx} = F(x) + C\).
Ví dụ: Chứng minh \(\int {kdx} = kx + C\) với k là hằng số khác 0.
Giải:
Ta có \((kx)' = k\) nên \(F(x) = kx\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = k\).
Vậy \(\int {kdx} = kx + C\).
Nhận xét:
Ta có \(\int {0dx} = C\), \(\int {dx} = \int {1dx} = x + C\).
2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Nguyên hàm của hàm số lũy thừa
+ \(\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C(\alpha \ne - 1)} \) + \(\int {\frac{1}{x}x = \ln \left| x \right| + C} \) |
Ví dụ:
a) \(\int {{x^5}dx} = \frac{1}{6}{x^6} + C\).
b) \(\int {{x^{\sqrt 2 }}dx} = \frac{1}{{\sqrt 2 + 1}}{x^{\sqrt 2 + 1}} + C\).
c) \(\int {{x^{ - 1}}dx} = \int {\frac{1}{x}dx = } \ln \left| x \right| + C\).
Nguyên hàm của hàm số mũ
+ \(\int {{e^x}dx = {e^x} + C} \) + \(\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C(0 < a \ne 1)} \) |
Ví dụ:
a) \(\int {{4^x}dx} = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + C\).
b) \(\int {{e^{3x}}dx} = \int {{{\left( {{e^3}} \right)}^x}dx} = \frac{{{{\left( {{e^3}} \right)}^x}}}{{\ln {e^3}}} + C = \frac{1}{3}{e^{3x}} + C\).
c) \(\int {{2^x}{{.3}^x}dx} = \int {{6^x}dx} = \frac{{{6^x}}}{{\ln 6}} + C\).
Nguyên hàm của hàm số lượng giác
+ \(\int {\cos xdx = \sin x + C} \) + \(\int {\sin xdx = - \cos x + C} \) + \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C} \) + \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = - \cot x + C} \) |
Ví dụ:
a) \(\int {(1 + {{\tan }^2}x)dx} = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \tan x + C\).
b) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sinx, biết \(F(2\pi ) = 0\).
Ta có \(\int {\sin xdx} = - \cos x + C\).
F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx nên có dạng F(x) = -cosx + C.
Vì \(F(2\pi ) = 0\) nên \( - \cos 2\pi + C = 0\) hay \( - 1 + C = 0\), suy ra C = 1.
Vậy F(x) = 1 – cosx.
3. Tính chất cơ bản của nguyên hàm
Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên K thì: + \(\int {kf(x)dx = k\int {f(x)dx(k \ne 0)} } \) + \(\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int {f(x)dx + \int {g(x)dx} } \) + \(\int {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int {f(x)dx - \int {g(x)dx} } \) |
Ví dụ:
a) \(\int {6{x^3}dx} = 6\int {{x^3}dx} = 6.\frac{{{x^4}}}{4} + C = \frac{3}{2}{x^4} + C\).
b) \(\int {(3{x^2} - \cos x)dx} = 3\int {{x^2}dx} - \int {\cos xdx} = {x^3} - \sin x + C\).
c) \(\int {\left( {\frac{2}{{{{\cos }^2}x}} - {5^x}} \right)dx} = 2\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} - \int {{5^x}dx} = 2\tan x - \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} + C\).
Nguyên hàm là một khái niệm then chốt trong chương trình Giải tích lớp 12, đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán tích phân. Hiểu rõ lý thuyết nguyên hàm là nền tảng để học tốt các kiến thức nâng cao và ứng dụng vào thực tế.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng I nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I.
Dưới đây là bảng các nguyên hàm cơ bản mà bạn cần nắm vững:
| Hàm số f(x) | Nguyên hàm F(x) |
|---|---|
| xn (n ≠ -1) | (xn+1)/(n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| ex | ex + C |
| sin(x) | -cos(x) + C |
| cos(x) | sin(x) + C |
Việc tìm nguyên hàm không phải lúc nào cũng đơn giản. Dưới đây là một số phương pháp thường được sử dụng:
Phương pháp này được sử dụng khi biểu thức dưới dấu tích phân có dạng phức tạp. Bằng cách đặt ẩn phù hợp, ta có thể đưa bài toán về dạng đơn giản hơn.
Phương pháp này được sử dụng khi hàm số dưới dấu tích phân là tích của hai hàm số. Công thức tích phân từng phần là:
∫u dv = uv - ∫v du
Phương pháp này được sử dụng khi hàm số dưới dấu tích phân chứa các hàm lượng giác. Bằng cách sử dụng các công thức lượng giác, ta có thể đưa bài toán về dạng đơn giản hơn.
Nguyên hàm có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác:
Để củng cố kiến thức về lý thuyết nguyên hàm, bạn có thể thực hành với các bài tập sau:
Lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 là một phần quan trọng của chương trình Giải tích. Việc nắm vững các khái niệm, tính chất và phương pháp tìm nguyên hàm sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và tự tin. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi!
