Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 của giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) \(y = {2^x}\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 2\); b) \(y = 12 - {x^2}\), \(y = - x\), \(x = - 3\), \(x = 4\).
Đề bài
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) \(y = {2^x}\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 2\);
b) \(y = 12 - {x^2}\), \(y = - x\), \(x = - 3\), \(x = 4\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = f(x)\) và trục hoành trên đoạn \([a,b]\) được tính bằng công thức tích phân:
\(A = \int_a^b | f(x) - 0|{\mkern 1mu} dx = \int_a^b f (x){\mkern 1mu} dx\)
Nếu có hai đường cong \({y_1}(x)\) và \({y_2}(x)\), diện tích hình phẳng giữa hai đường này trên đoạn \([a,b]\) là:
\(A = \int_a^b | {y_1}(x) - {y_2}(x)|{\mkern 1mu} dx\)
Lời giải chi tiết
a)
Diện tích \(A\) được tính bằng tích phân:
\(A = \int_0^2 {{2^x}} {\mkern 1mu} dx\)
Tính nguyên hàm của \({2^x}\):
\(\int {{2^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\)
Do đó:
\(A = \left[ {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right]_0^2 = \frac{{{2^2}}}{{\ln 2}} - \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} = \frac{4}{{\ln 2}} - \frac{1}{{\ln 2}} = \frac{3}{{\ln 2}}\)
Vậy diện tích cần tìm là:
\(A = \frac{3}{{\ln 2}}\)
b)
Ta cần tính tích phân của hiệu giữa hai hàm \({y_1}(x) = 12 - {x^2}\) và \({y_2}(x) = - x\) trên đoạn \([ - 3,4]\). Diện tích \(A\) là:
\(A = \int_{ - 3}^4 {\left| {12 - {x^2} - \left( { - x} \right)} \right|dx = } \int_{ - 3}^4 {\left| {12 - {x^2} + x} \right|dx} = \int_{ - 3}^4 {\left( {12 - {x^2} + x} \right)dx} \)
Tính nguyên hàm:
\(\int {(12 - {x^2} + x)} {\mkern 1mu} dx = 12x - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}\)
Thay cận \( - 3\) và \(4\):
\(A = \left[ {12x - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right]_{ - 3}^4 = \frac{{104}}{3} - \frac{{ - 45}}{2} = \frac{{343}}{6}\)
Vậy diện tích là:
\(A = \frac{{343}}{6}\).
Bài tập 4.28 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị, khoảng đơn điệu, giới hạn vô cùng và vẽ đồ thị hàm số. Cụ thể, đề bài thường cho một hàm số bậc ba hoặc bậc bốn và yêu cầu phân tích các đặc điểm của nó.
Giả sử hàm số cần khảo sát là: y = x3 - 3x2 + 2
Tập xác định của hàm số là D = ℝ (tất cả các số thực).
y' = 3x2 - 6x
Giải phương trình y' = 0: 3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0
Vậy x = 0 hoặc x = 2
Tính y'' = 6x - 6
y''(0) = -6 < 0 ⇒ Hàm số đạt cực đại tại x = 0, ycđ = 2
y''(2) = 6 > 0 ⇒ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, yct = -2
y'' = 6x - 6
Giải phương trình y'' = 0: 6x - 6 = 0 ⇔ x = 1
Điểm uốn là (1, 0)
limx→+∞ y = +∞
limx→-∞ y = -∞
Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Các em có thể luyện tập thêm với các bài tập khảo sát hàm số khác trong SGK Toán 12 tập 2 và các đề thi thử Toán 12 để nâng cao kỹ năng giải bài tập.
Bài tập 4.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ về phương pháp khảo sát hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các em sẽ tự tin giải quyết bài tập này và các bài tập tương tự một cách hiệu quả.
