Bài 1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Trong thống kê, việc đo lường mức độ phân tán của một mẫu số liệu là vô cùng quan trọng. Nó giúp chúng ta hiểu được sự biến động của dữ liệu, từ đó đưa ra những nhận định chính xác hơn. Bài 1 trong chương 3 của SGK Toán 12 tập 1 tập trung vào hai khái niệm cơ bản nhất để đo lường sự phân tán: khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị.

1. Khoảng biến thiên (Range)

Khoảng biến thiên là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong một mẫu số liệu. Nó cho biết phạm vi mà dữ liệu trải rộng. Công thức tính khoảng biến thiên (R) như sau:

R = X_max - X_min

Trong đó:

• X_max là giá trị lớn nhất trong mẫu số liệu.
• X_min là giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu.

Ví dụ: Cho mẫu số liệu: 2, 5, 7, 10, 12. Khoảng biến thiên là R = 12 - 2 = 10.

2. Khoảng tứ phân vị (Interquartile Range - IQR)

Khoảng tứ phân vị là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba (Q₃) và tứ phân vị thứ nhất (Q₁). Nó đo lường sự phân tán của 50% dữ liệu trung tâm. Công thức tính khoảng tứ phân vị (IQR) như sau:

IQR = Q₃ - Q₁

Để tính khoảng tứ phân vị, chúng ta cần xác định các tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃.

• Q₁ (Tứ phân vị thứ nhất): Giá trị phân chia mẫu số liệu thành hai phần, sao cho 25% dữ liệu nhỏ hơn hoặc bằng Q₁.
• Q₂ (Tứ phân vị thứ hai): Trung vị của mẫu số liệu. 50% dữ liệu nhỏ hơn hoặc bằng Q₂.
• Q₃ (Tứ phân vị thứ ba): Giá trị phân chia mẫu số liệu thành hai phần, sao cho 75% dữ liệu nhỏ hơn hoặc bằng Q₃.

Cách tính tứ phân vị cho mẫu số liệu ghép nhóm:

1. Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần.
2. Tính vị trí của Q₁, Q₂, Q₃ bằng công thức: Vị trí Q_i = i * (n + 1) / 4, với i = 1, 2, 3 và n là số lượng phần tử trong mẫu.
3. Nếu vị trí Q_i là số nguyên, Q_i là giá trị tại vị trí đó. Nếu vị trí Q_i là số thập phân, Q_i là giá trị trung bình cộng của hai giá trị gần nhất.

Ví dụ: Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Tổng số phần tử n = 5 + 10 + 15 + 10 = 40.

Vị trí Q₁ = 1 * (40 + 1) / 4 = 10.25. Q₁ nằm trong khoảng [20, 30). Ta tính Q₁ bằng công thức nội suy:

Q₁ = 20 + (10.25 - 10) * (30 - 20) / (5 + 10) = 20 + 0.25 * 10 / 15 = 21.67

Tương tự, ta tính Q₂ và Q₃.

3. Ý nghĩa của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Khoảng biến thiên cho biết phạm vi rộng hẹp của dữ liệu. Tuy nhiên, nó dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ. Khoảng tứ phân vị khắc phục nhược điểm này, vì nó chỉ tập trung vào 50% dữ liệu trung tâm. Do đó, IQR là một thước đo phân tán ổn định hơn.

4. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập trong SGK Toán 12 tập 1, chương 3. Giaibaitoan.com sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập này.

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị. Chúc bạn học tốt!