Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 5.38 trang 84 SGK Toán 12 tập 2. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaibaitoan.com cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB, biết rằng A(6; 2; −5), B(−4; 0; 7). a) Tìm toạ độ tâm I và tính bán kính r của mặt cầu (S). b) Viết phương trình của mặt cầu (S).
Đề bài
Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB, biết rằng A(6; 2; −5), B(−4; 0; 7).
a) Tìm toạ độ tâm I và tính bán kính r của mặt cầu (S).
b) Viết phương trình của mặt cầu (S).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a)
- Tâm \(I\) của mặt cầu là trung điểm của đường kính AB. Giả sử \(A({x_1},{y_1},{z_1})\) và \(B({x_2},{y_2},{z_2})\), thì tọa độ của \(I\) là:
\(I\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2},\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2},\frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} \right)\)
- Bán kính \(r\) của mặt cầu bằng nửa độ dài của đoạn AB. Công thức tính độ dài đoạn AB là:
\(AB = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2} + {{({z_2} - {z_1})}^2}} \)
Vậy bán kính \(r\) là: \(r = \frac{{AB}}{2}\)
b)
Phương trình của mặt cầu có tâm \(I(a,b,c)\) và bán kính \(r\) là:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}\)
Lời giải chi tiết
a)
Tâm \(I\) là trung điểm của đoạn AB, nên tọa độ của \(I\) là:
\(I\left( {\frac{{6 + ( - 4)}}{2},\frac{{2 + 0}}{2},\frac{{ - 5 + 7}}{2}} \right) = I\left( {\frac{2}{2},\frac{2}{2},\frac{2}{2}} \right) = I(1;1;1)\)
b)
Độ dài đoạn AB được tính như sau:
\(AB = \sqrt {{{(6 - ( - 4))}^2} + {{(2 - 0)}^2} + {{( - 5 - 7)}^2}} \)
\( = \sqrt {{{(6 + 4)}^2} + {2^2} + {{( - 5 - 7)}^2}} \)
\( = \sqrt {{{10}^2} + {2^2} + {{( - 12)}^2}} \)
\( = \sqrt {100 + 4 + 144} = \sqrt {248} = 2\sqrt {62} \)
Vậy bán kính \(r\) là:
\(r = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2\sqrt {62} }}{2} = \sqrt {62} \)
Bài tập 5.38 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để tìm cực trị và khảo sát hàm số. Đây là một dạng bài tập quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x-1)(x+2)(x-3). Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào?
Để hàm số y = f(x) đồng biến trên một khoảng, đạo hàm f'(x) phải lớn hơn 0 trên khoảng đó. Do đó, ta cần giải bất phương trình f'(x) > 0.
Ta có f'(x) = (x-1)(x+2)(x-3). Để giải bất phương trình f'(x) > 0, ta xét dấu của f'(x) trên trục số:
Vậy, hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng (-2; 1) và (3; +∞).
Khi giải bất phương trình tích, cần xét dấu của từng nhân tử và kết hợp các khoảng nghiệm để tìm ra nghiệm của bất phương trình.
Để củng cố kiến thức, các em có thể làm thêm các bài tập tương tự sau:
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
Bài tập 5.38 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng, giúp các em hiểu rõ hơn về ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý quan trọng trên, các em sẽ tự tin hơn khi làm bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
| Khoảng | x < -2 | -2 < x < 1 | 1 < x < 3 | x > 3 |
|---|---|---|---|---|
| Dấu của (x-1) | - | - | + | + |
| Dấu của (x+2) | - | + | + | + |
| Dấu của (x-3) | - | - | - | + |
| Dấu của f'(x) | - | + | - | + |
Chúc các em học tập tốt!
